Тема 4 Средняя длина свободного пробега. Явление переноса
4.1 Средняя длина свободного пробега
Участвуя
в тепловом движении, молекулы газа все
время сталкиваются друг с другом. Среднее
расстояние, которое проходит молекула
между двумя последовательными
соударениями, называется средней длиной
свободного пробега.
За единицу времени молекула в среднем
проходит расстояние, численно равное
ее средней скорости
.
Если за это время она в среднем претерпевает
столкновений с другими молекулами, то
ее средняя длина свободного пробега
будет равна:
(4.1)
Предположим, что все молекулы, кроме одной, неподвижны. Пусть молекула будет в виде шара с диаметром, равным эффективному диаметру молекулы. Столкновения молекулы с другими молекулами газа будут происходить всякий раз, когда центр неподвижной молекулы окажется на расстоянии меньшем, чем от прямой, вдоль которой движется молекула (рис. 4.1). Центр движущейся молекулы вследствие столкновений будет двигаться по ломаной линии (пунктирная линия на рис. 4.1).
Молекула
претерпевает соударения со всеми
молекулами, центры которых находятся
в пределах ломаного цилиндра, имеющего
диаметр 2.
За единицу времени молекула проходит
путь, равный средней скорости
.
Следовательно, число происходящих
столкновений будет равно числу молекул,
центры которых попадают внутрь цилиндра
с длиной
и диаметром 2.
Объем цилиндра будет равен:
(4.2)
Число столкновений тогда составит:
(4.3)
В реальных газах все другие молекулы также движутся. Поэтому число столкновений определяется не средней скоростью рассматриваемой молекулы, а средней относительной скоростью.
Чтобы
найти эту скорость предположим, что до
столкновения молекулы имели скорости
.
Тогда:
(4.4)
Из треугольника скоростей имеем:
(4.5)
Так как среднее значение суммы равно сумме средних величин, то среднее значение квадратов скоростей всех молекул газа равно:
(4.6)
Поэтому:
(4.7)
Так
как все направления равноправны, то
меняется и может принимать как значения
меньше ,
так и значения большие ,
т.е.
(ср).
Таким образом, выражение (4.6) можно
представить в виде:
(4.8)
Отсюда:
(4.9)
Поэтому при учете движения всех молекул среднее значение числа столкновений, испытываемых одной молекулой в единицу времени:
(4.10)
Средняя длина свободного пробега молекулы составит:
. (4.11)
Эффективный диаметр молекулы зависит от кинетической энергии сталкивающихся молекул, а, следовательно, и от температуры. И так: средняя длина свободного пробега зависит от температуры.
Если
обозначить через
среднюю длину свободного пробега при
начальной температуре, то средняя длина
свободного пробега при температуре Т
будет равна:
, (4.12)
где С – постоянная для данного газа, называемая постоянной Созерленда. Ее числовое значение определяется опытным путем.
В
соответствии с основным уравнением
кинетической теории газов число молекул
в единице объема
,
тогда следует, что:
(4.13)
Соотношение между средней длиной свободного пробега молекул и характерным размером сосуда, в котором заключен газ, используют в качестве характеристики вакуума.
Высокий вакуум – это состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега молекул газа велика по сравнению с характерным размером сосуда. Характерным называется размер сосуда, определяющий характер рассматриваемого физического процесса в вакууме.
Средний вакуум – состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега сравнима с характерным размером сосуда.
Низкий вакуум – состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега молекул мала по сравнению с характерным размером сосуда.