2. Распределение молекул по скоростям

Запишем полученное ранее выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа:

(3.13)

Отсюда следует, что:

(3.14)

где R = kN_A, N_Am = , N_A – число Авогадро, m – масса молекул газа,  - молярная масса газа.

Для данного газа средняя квадратичная скорость молекул пропорциональна корню квадратному из термодинамической температуры и зависит только от нее.

Средняя квадратичная скорость является статистической характеристикой движения молекул, полученная путем усреднения различных значений скорости множества молекул. В действительности они движутся с различными скоростями v даже при неизменной температуре Т.

Пусть данная масса газа содержит N молекул. Разобьем весь диапазон скоростей молекул на малые интервалы v. Тогда на каждый интервал скоростей будет приходиться некоторое число N молекул обладающих скоростями в этом интервале скоростей. Отношение показывает, какое количество молекул приходится на единичный интервал скорости и называется распределением молекул по скоростям.

Максвелл на основе теории вероятностей теоретически получил функции распределения молекул по скоростям:

(3.15)

Распределение скоростей молекул можно представить графически (рис. 3.2).

Абсолютное значение скорости не может быть меньше нуля. Так как неподвижных молекул в газе нет, то кривая начинается с нуля и не имеет отрицательных значений. Так как множитель при возрастании v убывает быстрее, чем множитель , то кривая асимметрична.

Если обозначить: , тогда выражение (3.15) примет вид:

(3.16)

Если (это возможно при ), то это означает, что абсолютные значения скорости молекул должны в основном находиться в некотором интервале вблизи наиболее вероятного значения.

Найдем значение наиболее вероятной скорости молекул газа, соответствующее перегибу кривой . При этом первая производная должна быть равна нулю:

(3.17)

Возможно три случая: 1) v = 0; 2) v =  ( ); 3) . Отсюда следует, что:

(3.18)

И, следовательно, наиболее вероятная скорость молекул газа:

(3.19)

Наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал скорости приходится наибольшее число молекул.

Характер распределения молекул газа по скоростям зависит как от температуры газа, так и от массы его молекул:

(3.20)

При увеличении температуры или уменьшении массы молекул газа максимум кривой смещается и становится выше (рис. 3.3).

Среднее арифметическое значение скорости можно найти, пользуясь формулой:

(3.21)

Тогда, учитывая выражение (3.15), получим:

(3.22)

Среднеквадратичную скорость молекул мы уже находили ранее:

(3.23)

Отметим, что при неравновесном состоянии газа распределение в нем молекул по скоростям будет отличаться от максвелловского. При переходе же газа к равновесному состоянию благодаря столкновению между молекулами в нем установится именно максвелловское распределение молекул по скоростям.

Соотношение наиболее вероятной, средней арифметической и среднеквадратичной скоростей дают следующие значения: .

Первое экспериментальное определение скоростей молекул газа было произведено О. Штерном в 1920 г. Прибор, предназначенный для этой цели, состоял из двух жестко соединенных между собой коаксиальных цилиндров с радиусами R и r (рис.3.4). Вдоль оси цилиндров натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра. При пропускании через проволоку электрического тока она раскалялась, и с ее поверхности интенсивно испарялись атомы серебра. В приборе был создан высокий вакуум и поэтому атомы серебра, двигаясь по радиальным направлениям, не отклонялись из-за столкновений. В том месте, где внутренний цилиндр имел узкую щель, атомы серебра проникали в пространство между цилиндрами, образуя узкий пучок. Осаждаясь на стенке внешнего цилиндра, эти атомы образовывали на ней налет серебра в виде узкой вертикальной полосы. Когда прибор был приведен во вращение с угловой скоростью , то этот налет смещался в сторону на расстояние L. Смещение полосы серебра возникало потому, что за время t, в течение которого движущиеся в пучке атомы серебра пролетали расстояние, равное R-r, прибор успевал повернуться на угол . Обозначив среднюю скорость движения атома в пучке через <v>, нетрудно найти:

.

Таким образом, зная радиусы цилиндров, угловую скорость их вращения и измеряя смещение середины полоски, можно определить среднюю скорость движения атомов, соответствующую температуре проволоки. Расплывание изображения щели обусловлено тем, что молекулы движущиеся более быстро, имеют меньшее смещение, чем движущиеся медленно. Исследуя толщину слоя серебра в различных частях цилиндра, можно установить зависимость между числом осевших частиц и величиной их смещения. Результаты хорошо согласуются со значениями, вычисленными из распределения Максвелла.