Тема 3 Распределения молекул

При выводе основного уравнения кинетической теории газов было достаточно использовать среднюю кинетическую энергию молекул. Однако, многие свойства газа зависят не только от средних энергий молекул, но и от распределения энергий, от скоростей и других параметров.

В газе скорость каждой отдельно взятой молекулы из-за столкновений непрерывно изменяется как по своему значению, так и по направлению. Поскольку все направления движения молекул равновероятны, то распределения молекул по направлениям движения равномерно.

Иначе обстоит дело со значениями скоростей молекул. Если предположить, что по абсолютному значению скорости молекул изменяются в пределах от нуля и до бесконечности, то не все они будут равновероятны.

Рассмотрим сначала распределение молекул по направлению.

3.1 Распределение молекул по высоте. Барометрическая формула.

Рассмотрим идеальный газ с молярной массой , находящийся в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т в однородном поле силы тяжести . Установим зависимость давления “p” и концентрации “n”от высоты “h” (рис.3.1).

Давление на уровне x = 0 обозначим р₀. Тогда на уровне h оно будет р, на уровне h+dh  p+dp (dp<0).

Разность давлений dp обусловлена статическим давлением столба газа на высоте dh. Поэтому:

(3.1)

Так как: , где  - плотность газа на уровне h; g – ускорение свободного падения.

Плотность газа численно можно представить как произведение массы молекулы на число молекул в единице объема газа:

 = mn (3.2)

Из основного уравнения кинетической теории газов, концентрация молекул:

(3.3)

Отсюда: (3.4)

Разделив переменные, получим:

(3.5)

Если считать, что температура газа постоянная, или же взять среднее значение температуры всего столба газа, интегрируя выражение (3.5) получим:

(3.6)

Потенцируя это выражение, найдем:

(3.7)

Постоянную интегрирования С можно определить из условия, что при h = 0 давление р = р₀. То есть С = р₀. Таким образом, уравнение (3.7) можно записать в виде:

(3.8)

При условиях, близких к нормальным, газы, входящие в состав воздуха, мало отличаются по своему поведению от идеального газа. Поэтому уравнение (3.8) можно рассматривать как закон убывания атмосферного давления с высотой над поверхностью Земли.

Учитывая, что k = R/N_A, а mN_A = , (3.9)

уравнение (3.8) можно представить как:

(3.10)

где  = 28,96610^-3 кг/моль – средняя молярная масса воздуха.

Формула (3.10) носит название барометрической. Она применима только для нижнего слоя атмосферы – тропосферы, имеющего толщину 10 –11 км, в пределах которого изменение ускорения силы тяжести с высотой можно пренебречь. Согласно основному уравнению кинетической теории газов p = nkT и p₀ = n₀kT, где n₀ – концентрация молекул на высоте h = 0, n – на высоте h. Тогда:

(3.11)

Выражение (3.11) представляет собой закон изменения концентрации молекул с высотой. Из формулы (3.11) следует, что при n  n₀ при Т , т.е. при повышении температуры молекулы газа стремятся равномерно распределиться по высоте; а при n  0 при Т  0 все молекулы должны были бы расположиться по поверхности Земли.

Существующее в атмосфере распределение молекул воздуха по высоте устанавливается в результате действия двух противоположных факторов: во-первых, под действием силы тяжести mg молекулы воздуха стремятся опуститься на поверхность Земли; во-вторых, тепловое движение, характеризуемое величиной kT , стремится распределить их равномерно по высотам. В соответствии с этим концентрация более тяжелого газа в атмосфере должна убывать быстрее, чем концентрация более легкого газа. По расчетам, слой атмосферы выше 60-70 км должен целиком состоять из наиболее легких газов, входящих в состав воздуха – водорода и гелия. Однако из-за непрерывного перемешивания, связанного с движением атмосферного воздуха, она до 80-90 км практически однородна по составу. Свыше 95 км состав атмосферы существенно изменяется.

Входящая в формулу (3.8) величина mgh – представляет собой потенциальную энергию молекул на высоте h. Поэтому выражение (3.8) определяет также распределение молекул по значениям их потенциальной энергии:

(3.12)

где n₀ – число молекул в единице объема, при котором потенциальная энергия равна нулю, n – число молекул в единице объема в той части пространства, в которой потенциальная энергия молекулы равна W_p.

Формулу (3.12) называют распределением Больцмана, и из которой следует, что доля молекул n/n₀, имеющих данное значение потенциальной энергии W_p, кроме этой энергии, зависит от температуры газа. Это позволяет рассматривать температуру как величину, определяющую распределение молекул по значениям энергий.