2.2 Основное уравнение кинетической теории газов

Кинетическая теория газов позволяет установить связь между параметрами состояния газа и характером его движения или движения его молекул.

Вычислим давление, производимое газом на стенки сосуда, в котором он заключен. Согласно кинетической теории давление газа на стенки сосуда возникает в результате непрерывных ударов о них отдельных молекул.

Рассмотрим малый объем, представляющий собой куб с ребром l. Пусть внутри этого куба находится N молекул газа в равновесном состоянии. Движение молекул можно разложить на три направления и рассматривать независимое их движение параллельно осям X, Y, Z.

Так как движение молекул хаотическое и равновесное, то вдоль одного из направлений будет перемещаться:

N_X = N_Y = N_Z = N/3 молекул. (2.1)

Усредненная сила ударов этих молекул о стенки сосуда, отнесенная к единице поверхности – это есть давление газа на стенки. Молекула с массой m_i при ударе о стенку сосуда отскакивает абсолютно упруго, т.е. изменяет свою скорость на противоположную . Изменение импульса i-ой молекулы при абсолютно упругом взаимодействии:

(2.2)

Согласно закону изменения импульса сила взаимодействия молекулы со стенкой сосуда:

, (2.3)

где t₀ – время соударений молекулы со стенками сосуда. За время t₀ молекула ударится k раз со стенкам сосуда и передаст стенкам импульс, равный .

Отсюда средняя сила, действующая на молекулу со стороны стенок вдоль направления X составит:

(2.4)

(2.5)

где  - время между двумя последовательными столкновениями молекул со стенками вдоль оси X.

(2.6)

Если подставить в уравнение (2.4) – (2.5) и (2.6), получим:

(2.7)

Аналогично можно получить F_Y и F_Z:

(2.8)

Сложим силы взаимодействия всех молекул вдоль направлений X, Y, Z, получим:

(2.9)

По определению квадрат средней скорости: , (2.10)

где j = X, Y, Z.

Отсюда: . (2.11)

Давление газа на стенку сосуда вдоль одного из направлений X, Y, Z будет:

,

где V – объем сосуда, в данном случае куба V = l³ м³.

Если вспомнить, что концентрация молекул (количество молекул в единице объема), а так же, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул , то получим основное уравнение кинетической теории газов:

(2.12)

Если просуммировать давление по всем направлениям, то получим выражение: . (2.13)

Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, находящихся в единице его объема.

Умножив правую и левую часть уравнения (2.12) на объем одного моля V_ газа, получим:

, (2.14)

где nV_ = N_A - число молекул в моле газа, равное постоянной Авогадро.

Кроме того, согласно уравнению PV_ = RT, выражение (2.14) примет вид:

(2.15)

Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул непосредственно связана с параметрами состояния газа (давлением, объемом и температурой):

. (2.16)

Поскольку R/N_A = k – постоянная Больцмана (k = 1,3810^-23 Дж/К), то выражение (2.16) примет вид:

. (2.17)

Средняя кинетическая энергия является функцией температуры и не зависит от массы молекулы. Этот вывод раскрывает смысл молекулярно-кинетической теории: температура – мера средней кинетической энергии молекул. Согласно формуле (2.17) при абсолютном нуле поступательное движение молекул должно прекратиться.

Объединяя уравнения (2.17) и (2.13), получим:

p = nkT (2.18)

Чем больше концентрация молекул и выше температура, тем больше давление газа.

Допустим, что в сосуде имеется смесь нескольких газов, причем концентрация молекул смеси первого газа равна “n₁”, второго “n₂”, третьего “n₂” и т.д. Тогда общая концентрация молекул:

n = n₁ + n₂ + n₃ + …+ n_m (2.19)

Разные по массе молекулы смеси газов имеют различную среднюю скорость, но при данной температуре Т средняя энергия молекул будет одна и та же. Давление, оказываемое на стенки сосуда смесью газов в этом случае:

p = nkT = (n₁ + n₂ +…+ n_m)kT = n₁kT + n₂kT +…+ n_mkT (2.20)

Но n₁kT = p₁ – давление, которое оказывал бы первый газ, если бы он был один в сосуде, n₂kT = p₂ – давление второго газа и т.д. Введя давления соответствующих компонент газовой смеси как парциальные давления, получим:

(2.21)

Формула (2.21) представляет собой закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих смесь.