В ластивості та графіки показникової функції

Показниковою називається функція виду , де , а – основа.

Показникова функція існує лише при , тому що:

• при вираз не має змісту при від’ємних і дробових показниках х: вирази не мають змісту.

• при отримуємо для будь-якого показника х, тобто функція стає постійною.

Властивості показникової функції:
Експонента
	Область визначення: ;
	Множина значень: ;
	Показникова функція являється ні парною, ні непарною (індиферентна);
	Точки перетину з осями координат: вісь ох : перетину з віссю ох немає; вісь оу: при , при будь-якій основі . Точка(0; 1);
	Проміжки знакосталості:
	, при , , при ;	, при , , при ;
	Проміжки монотонності:
	якщо - зростає на (- ∞; +∞);	якщо - спадає на (- ∞; +∞);
	Неперервна на (- ∞; +∞);

ПРАЦЮЄМО НА УРОЦІ

3.1. Перерахуйте властивості функції і побудуйте графік функції:

а) ; б) ; в) ; г) .

Р озв’язування показникових рівнянь

Показникове рівняння - рівняння, у якому невідома міститься лише у показнику степеня, при сталих основах.

Приклади показникових рівнянь: ,

Найпростіше показникове рівняння має вигляд:

.

Оскільки множина значень функції — множина додатних чисел, то рівняння :

а) має один корінь, якщо b > 0 (рис. ); б) не має коренів, якщо b < 0 (рис. ).

Рис.

Рис.

Загального методу розв'язування показникових рівнянь не існує. Можна виділити кілька видів показникових рівнянь і показати схеми їх розв'язування.

Основні способи розв’язування показникових рівнянь:

1. Зведення обох частин рівняння до однієї основи;

2. Винесення спільного множника за дужки;

3. Зведення до спільного показника;

4. Зведення до квадратного рівняння;

5. Розв‘язування показникових рівнянь, що мають різні основи;

6. Графічний спосіб розв’язування рівнянь.

спосіб. Зведення обох частин рівняння до однієї основи

Щоб розв'язати рівняння виду , де , треба b подати у вигляді , тоді отримаємо рівняння , яке рівносильне .

Тому, що показникова функція монотонна, і кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу.

Приклад 1. П редставимо число 1, як 40, маємо , , Відповідь: .

Приклад 2. , , , Відповідь: .

Приклад 3. , , Відповідь: .

спосіб. Винесення спільного множника за дужки

Цим способом розв’язуються рівняння виду:

,

виносячи за дужки спільний множник:

: ,

або :

Зверни увагу! За дужки потрібно виносити степінь з найменшим показником.

Приклад 4. , , , , , Відповідь: .

Приклад 5. , , , , , , , Відповідь: .

Приклад 6.

,

Відповідь: .

спосіб. Зведення до спільного показника

Приклад 7. Відповідь: х = 3.

Приклад 8. Відповідь: х = 3.

спосіб. Зведення до квадратного рівняння

Цим способом розв’язуються рівняння виду: ,

Заміна: ,

Зворотна заміна ,

Пам’ятай! При розв’язуванні рівнянь способом зведення до квадратного рівняння повинна виконуватись умова .

Значення відкидають, оскільки рівняння не має розв'язків, бо показникові функція означена лише на множині додатних значень.

Приклад 9.

,

Заміна: , тоді:

- не задовольняє умову.

Виконаємо зворотну заміну:

Відповідь: .

Приклад 10.

,

,

,

,

Заміна: , тоді:

,

,

,

Виконаємо зворотну заміну:

або

Відповідь: , .

спосіб. Розв‘язування показникових рівнянь, що мають різні основи

Такі рівняння розв‘язуються за допомогою ділення на одне із чисел з найвищим степенем.

Приклад 11.

З верніть увагу на те, що ,

,

,

,

Заміна: тоді:

Виконаємо зворотну заміну:

Відповідь: х = 0.

спосіб. Графічний спосіб розв’язування показникових рівнянь

Приклад 12. Розв'яжіть графічно рівняння Будуємо графіки функцій , та в одній системі координат.	Рис.
Графіки функцій , перетинаються в точці, абсциса якої х = 0 (рис. 154). Відповідь: х = 0. МОРСЬКИЙ БІЙ

	К	А	Т	Е	Р
1
2
3
4

ПРАЦЮЄМО НА УРОЦІ

3.2. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

3.3. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) .

3.4. Розв’язати рівняння:

а) ; б) .

3.5. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) .

3.6. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) .