Степенева функція, її властивості та графіки
С
тепенева
функція – функція
виду
,
де n - показник
степеня (стале число),
а х – основа
(змінна).
Властивості степеневої функції залежать від того, яким числом є показник степеня.
Властивості та графіки степеневої функції |
|||||
|
n(n≠0),
|
Графік функції |
D(f) |
Парність непарність |
Монотонність |
n – ціле число |
парне число |
|
R |
Парна |
|
непарне число |
|
R |
Непарна |
|
|
від’ємне парне число |
|
|
Непарна |
|
|
від’ємне непарне число |
|
|
Парна |
|
|
n – неціле число |
|
|
|
Індифе- рентна |
|
|
|
|
Індифе- рентна |
|
|
|
|
|
Індифе- рентна |
|
|
П РАЦЮЄМО НА УРОЦІ
2.17. Чи проходить графік функції
через точку:
а) А (-2; -128); б) В(-1; -7); в) С(1; 1)?
2.18. При якому значенні а
графік функції
проходить через точку
?
2.19. Які з даних функцій перетинаються прямою у=а, а> 0 тільки в одній точці:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
2.20. Дано функції: а)
;
б)
;
в)
;
г)
знайти область визначення;
знайти точки перетину з осями координат;
побудувати графік функції.
2.21. Знайти область визначення функції:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.22. Знайдіть найбільше і
найменше значення функції
на
проміжку:
а)
;
б)
.
2.23. Скільки коренів залежно від значення а має рівняння?
а)
;
б)
Розв’язування ірраціональних рівнянь
Ірраціональним називається рівняння, в якому невідома міститься під знаком радикала.
Наприклад:
;
Основні способи розв’язування ірраціональних рівнянь:
Піднесення обох частин рівняння до степеня, який дорівнює показнику кореня.
Введення допоміжної змінної.
ЗАПАМ’ЯТАЙ |
|
Спосіб. Піднесення обох частин рівняння до степеня, який дорівнює показнику кореня
Приклад 2.
Знаходимо область визначення:
Ø.
Відповідь: рівняння коренів немає.
Приклад 3.
Число 4 належить області визначення, отже воно є коренем рівняння, число 11 не належить ОДЗ.
Відповідь: х = 4.
Приклад 4.
Перевірка:
Відповідь: х = 11.
Приклад 5.
Перевірка:
х = 4:
х
= 11:
В
ідповідь:
х = 4.
Приклад 6.
х = 4
Перевірка:
х = 4:
Відповідь: х = 4.
Приклад 7.
Піднесемо обидві частини рівняння до куба використовуючи формулу:
Винесемо за дужки:
.
Так як за умовою , то:
Перевірка:
х = 20:
х
= 1:
Відповідь: х = 20; х = 1.
спосіб. Введення допоміжної
змінної
Приклад 8.
Заміна:
,
,
Зворотна заміна:
або 
Перевірка:
Відповідь:
.
Приклад 9.
Заміна:
,
Зворотна заміна:
або 
Перевірка:
Відповідь: , .
П РАЦЮЄМО НА УРОЦІ
2.24. Розв’язати рівняння
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
2.25. Розв’язати рівняння
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
; з)
.
2.26. Розв’язати рівняння
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
.
2.27. Розв’язати рівняння
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
.
2.28. Розв’язати рівняння
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
.
ж)
; з)
;
и)
.
ПРАЦЮЄМО ВДОМА
Домашнє завдання 4: Розв’язування ірраціональних рівнянь
Завдання:
Розв’язати рівняння
|
Середній рівень |
Достатній рівень |
Високий рівень |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
П ОВТОРЕННЯ
2.29. Запишіть вираз у вигляді степеня із раціональним показником:
а)
б)
; в)
;
г)
; д)
.
2.30. Обчислити:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
.
2.31. Спростити:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
; з)
.
2.32. Внесіть множник під знак кореня:
а)
; б)
; в)
; г)
.
2.33. Винести множник з-під радикала:
а)
; б)
; в)
; г)
.
2.34. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
.
2.35. Розв’язати рівняння:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; є)
;
ж)
; з)
.
2.36. Розв’язати рівняння:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2.37. Розв’язати рівняння:
а)
; б)
.
|
1. Сформулювати означення степеня з натуральним показником. 2. Сформулювати означення степеня з додатнім раціональним показником. |
3. Записати основні властивості степеня з раціональним показником.
4. Які види степеневої функції вам відомі? Записати їх аналітично.
5. Що називається коренем n – го степеня з числа а?
6. Що називається арифметичним коренем з числа а?
7. Записати основні властивості кореня n – го степеня.
8. Як винести множник за знак радикала?
9. Як внести множник під знак радикала?
10. Які радикали називаються подібними?
11. Як додати (відняти) радикали?
12. Як перемножити корені з однаковими показниками?
13. Як перемножити (поділити) радикали з різними показниками?
14. Як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, якщо цей знаменник – многочлен?
15. Як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, якщо цей знаменник – двочлен з квадратними коренями?
16. Яке рівняння називається ірраціональним? Навести приклади.
17. Як ірраціональне рівняння замінити раціональним?
18. Які перетворення ірраціональних рівнянь можуть призвести до появи сторонніх коренів?
19. Які ви знаєте способи розв’язування ірраціональних рівнянь?
|
|
Студент, курсант після вивчення даної теми зможе: |
Розпізнавати і будувати:
графіки показникових функцій і на них ілюструвати властивості функцій;
Застосовувати:
показникові функції до опису найпростіших реальних процесів;
Розрізняти:
класи показникових рівнянь, нерівностей, методи їх розв’язання;
Застосовувати:
загальні методи до розв’язання показникових рівнянь:
зведення обох частин рівняння до однієї основи;
винесення спільного множника за дужки;
зведення до спільного показника;
зведення до квадратного рівняння;
розв‘язування показникових рівнянь, що мають різні основи;
графічний спосіб розв’язування рівнянь);
загальні методи до розв’язання показникових нерівностей.