У загальнення поняття степеня.
З |
Якщо n–натуральне число, більше за 1, то для будь-якого дійсного числа а
тобто
Якщо показник степеня від’ємне число, то можна користуватися формулою:
|
ГАДАЙ
,
дорівнює добутку n
співмножників, кожен з яких дорівнює
а.
.
Степенем числа а>0
з раціональним показником
,
де m
– ціле
число, а n
- натуральне
число (n>1),
називається число
:
Властивості степеня
( |
|||
з цілим показником |
з раціональним показником |
||
З |
|
ЗАПАМЯТАЙ |
Для степеня з раціональним показником виконуються всі властивості степеня з цілим показником (1-8) та наступні властивості:
|
,
)
ГАДАЙ
;
;
.
Користуючись формулою
,
будь-яке число завжди можна представити
у вигляді степеня.
Наприклад:
.
Різницю
можна розглядати як:
різницю квадратів
;різницю кубів
.
П РАЦЮЄМО НА УРОЦІ
Середній рівень
2.1. Обчислити:
а)
;
б)
;
в)
.
2.2. Спростити
а)
; б)
Достатній рівень
2.3. Обчислити:
а)
;
б)
; в)
;
г)
; д)
.
2.4. Спростити
а)
;
б)
.
Високий рівень
2.5. Обчислити:
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
2. 6. Спростити
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
;
є)
.
Корінь n–го степеня та його властивості
К
оренем
n–го
степеня з
числа а називається
таке число x,
n–на
степінь якого дорівнює числу
а (
):
Дія, під час якої знаходиться значення кореня n–го степеня з числа а, називається добуванням кореня з числа а.
Приклад 1.
бо
;
ЗВЕРНИ УВАГУ |
Корінь непарного степеня з числа a завжди існує і, до того ж тільки один:
Корінь
парного степеня
з числа a
для a>0
існує, до того ж два
протилежних числа,
які є коренями n
– го степеня з a:
Корінь
парного степеня
з числа a
для a<0
не існує:
|
;
;
.
.
,
бо
.Арифметичним коренем n–го степеня з числа а називається невід’ємне число, n–й степінь якого дорівнює числу а.
- арифметичний корінь;
- не арифметичний корінь.
Корінь непарного степеня з
від’ємного числа можна виразити через
арифметичний корінь того самого степеня
з протилежного (додатного) числа.
Наприклад:
.
Для будь-якого дійсного х:
Якщо n
– парне число
;
Якщо n
– будь-яке дійсне число
Пам’ятай! Тотожності кореня n–го степеня:
,
;
;
Властивості кореня n–го
степеня ( |
Приклади |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8)
|
|
)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Користуючись властивостями кореня n–го степеня різницю можна розглядати як:
Дії з коренями n–го степеня |
|
1. Винесення множника за знак радикалу |
|
Якщо підкореневий вираз розкладається на множники так, що з одного або з декількох з них можна добути точний корінь, ці множники після добування з них кореня можна записати перед знаком радикалу. |
|
2. Внесення множника під знак радикалу |
|
Щоб внести множник під знак
радикала, слід піднести його до степеня,
показник якого дорівнює показнику
кореня, і записати результат під знаком
радикалу:
|
|
3. Зведення подібних радикалів |
|
Подібні – це радикали, які після зведення їх до найпростішого вигляду мають рівні підкореневі вирази і однакові показники кореня. |
|
4. Додавання і віднімання радикалів |
|
Додавати і віднімати можна лише подібні радикали. |
|
5. Множення і ділення радикалів |
|
Перед множенням та діленням радикалів їх приводять до одного степеня. |
|
6. Звільнення від ірраціональності в знаменнику |
|
а) Множення чисельника та знаменника дробу на знаменник. |
|
б) Множення чисельника та знаменника дробу на спряжений до знаменника вираз. |
|
;
;
.
;
;
- подібні
;
М
ОРСЬКИЙ
БІЙ
|
С |
У |
Д |
Н |
О |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
П РАЦЮЄМО НА УРОЦІ
2.7.Обчисліть:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
; з)
; и)
;
к)
; л)
; м)
;
н)
; о)
; п)
.
2.8. Спростити:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
; з)
; и)
.
2.9. Представити степінь з дробовим показником у вигляді кореня
а)
;
б)
; в)
;
г)
;
д)
; є)
.
2.10. Представити арифметичний корінь у вигляді степеня з дробовим показником
а)
;
б)
; в)
;
г)
;
д)
; є)
.
2.11. Знайти значення виразу
а)
; б)
; в)
.
2.12. Винесіть множник з-під знака кореня:
а)
; б)
; в)
;
г)
(a>0,
b>0); д)
(a>0,
b>0);
є)
(a>0,
b>0);
ж)
(a < 0,
b>0); з)
(a>0, b
< 0).
2.13. Внесіть множник під знак кореня:
а)
; б)
; в)
;
г)
(a>0,
b>0); д)
(a<0,
b>0).
2.14. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
.
2.15. Спростити:
а)
; б)
; в)
.
2.16. Спростити:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; є)
;
ж)
; з)
; и)
.
П РАЦЮЄМО ВДОМА
Домашнє завдання 3: Корінь n – го степеня. Властивості кореня n – го степеня. Дії з коренями n–го степеня
Завдання:
А) Обчислити.
Б) Винесіть множник за знак радикалу (a>0, b>0).
В) Внесіть множник під знак радикалу (a>0, b>0).
Г) Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу.
|
А) |
Б) |
В) |
Г) |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Д) Винесіть множник з-під знака кореня. |
Є) Знайдіть значення виразу. |
|
|
,
якщо m≤0,
n<0;
,
якщо k<0,
m≤0,
n<0;
,
якщо m≤0,
n<0.
.