Парність, непарність

Функція називається парною, якщо для довільних х та (-х) із області її визначення виконується умова	Функція називається непарною, якщо для довільних х та (-х) із області її визначення виконується умова
Графік парної функції симетричний відносно осі оу	Графік непарної функції симетричний відносно початку координат
Функція, яка являється а ні парною, а ні непарною називається індиферентною.

Алгоритм дослідження функції на парність, непарність:

1. Знайти область визначення функції.

2. Якщо область визначення симетрична вона відносно нуля то

а) при функція є парною;

б) при функція є непарною

Приклад 7. Дослідити на парність .

1) ОДЗ:

2) - функція парна.

Приклад 8. Дослідити на парність .

1) ОДЗ:

2) - функція непарна.

Приклад 9. Дослідити на парність .

1) ОДЗ:

2) - ні парна, ні непарна (індиферентна).

НЕПЕРЕРВНІСТЬ

Приклад 10. Дослідити графік функції

Схема дослідження графіка функції:
1	Область визначення функції:
2	Множина значень функції:
3	Нулі функції:	при х = х2; х4; х6; х8
4	Проміжки знакосталості - : :
5	Монотонність: проміжки зростання ↑ проміжки спадання ↓	;
6	Парність, непарність:	індиферентна
7	Неперервність:	неперервна

Функція обернена до даної

Розглянемо приклад знаходження функції, оберненої до лінійної .

Приклад 11. Знайдіть і побудуйте функцію обернену до даної: .

1) ,

Графіком функції є пряма, яка зростає на всій ОДЗ функція оборотна, має обернену.

2) Розв’яжемо рівняння відносно змінної х.

Отримаємо лінійну функцію: , яка задає залежність у від х.

Поміняємо у рівності позначення х на у і навпаки, оскільки прийнято незалежну змінну позначати буквою х, а залежну – у.

Отримаємо: обернену до .

Побудуємо графіки функцій та в одній системі координат.

Якщо у функції кожному значенню у відповідає єдине значення х, то така функція називається оборотною.

Оборотна Необоротна

Функція , яка кожному значенню у ставить у відповідність єдине значення х називається оберненою до функції .

Властивості оберненої функції:

• Область визначення оберненої функції є множиною значень прямої функції і навпаки, множина значень оберненої є областю визначення прямої функції.

• Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої - бісектриси І та ІІІ координатних чвертей.

• Функція має обернену, якщо вона лише зростає або лише спадає не деякому проміжку, причому:

• якщо функція зростає, то обернена до неї функція - зростає,

• якщо спадає, то обернена до неї функція - спадає.

ЗВЕРНИ УВАГУ!	Не завжди можна вказати функцію обернену до даної. Наприклад, функція на всій ОДЗ не має оберненої. ОДЗ: (-∞; +∞), Значенню у0 відповідає два значення х1 та х2.
	Але на проміжку [0; +∞) для цієї функції можна знайти обернену. Значенню у0 відповідає одне значення х2.

Алгоритм знаходження формули функції, оберненої до даної:

1. З’ясовуємо чи є функція оборотною на всій області визначення. Якщо зростає або спадає на всій ОДЗ – оборотна.

2. Розв’язуємо рівняння відносно змінної х.

3. Міняємо позначення змінних х та у.

П РАЦЮЄМО НА УРОЦІ

1.1. Які з ліній, зображених на рисунку, є графіками функцій?

а) б) в)

1.2. Функція задана формулою

а) знайдіть , , ,

б) при яких значеннях аргументу х функція дорівнює 6; 8; 100?

1.3. Знайти область визначення наступних функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

1.4. Знайти область визначення наступних функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) .

1.5. Знайти область визначення наступних функцій:

а) ; б) ;

в*) ; г*) ;

д*) ; є*) ; ж*) .

1.6. Знайдіть нулі функції:

а) ; б) ; в) ;г) ; д) ; е) .

1.7. На рисунку зображено графік функції , визначеної на проміжку [-3,5; 5].

Користуючись графіком знайдіть:

1) , , , , , 2) 3) 4) проміжки знакосталості 5) проміжки монотонності 6) нулі функції. 7) парність 8) неперервність

1.8. Вкажіть на графіках парні і непарні функції.

а) б) в) г) д) є)

ж) з) и)

1.9. Дано графік функції , яка задана на проміжку [-5,5; 5,5]. Добудувати її до парної та непарної якщо це можливо.

1.10. Дослідити на парність і непарність

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) л) м) ;

н) ; о) п) .

1.11. Визначити, зростає чи спадає функція на проміжку

а) , (1; +∞); б) , (-∞; 3].

1.12. Які з поданих нижче функцій неперервні, мають розрив?

а) б) в) д)

є) ж) з) и)

1.13. Назвіть точки розриву функцій, та знайдіть значення функцій в цих точках.

1.14. Які з графіків, зображених на рисунку, є графіками оборотних функцій?

а) б) в)

1.15. Знайти функцію обернену до даної:

а) ; б) в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) ; и) ; к) .

1.16. Побудуйте графік функції , оберненої до функції . Вкажіть , , заповніть таблицю. х -2 0 1 3

1.17. Побудуйте графік неперервної функції , якщо відомі її властивості (див таблицю).

	Властивості функції	І		ІІ
1	Область визначення	[6;6]		[-5;4]
2	Область значень	[-2;5]		[0;6]
3	Точка перетину графіка: а) з віссю ох: в) з віссю оу:	A(-4;0); B(-2;0) C(0;2,5)		O(0;0)
4	Проміжки знакосталості: а) : в) :	[-6;-4) (-2;6] (-4;-2)		[-5;0) (0;4] -
5	Проміжки: а) зростання: в) спадання	(-3;1), (4;6) (-6;-3), (1;4)		(-5;-2),(0;4) (-2;0)
6	Точки максимуму, максимум функції Точки мінімуму, мінімум функції	1, -3, 4,		-2, 0,
7	Додаткові точки графіка
1.18. На рисунку зображені графіки залежності довжини шляху гальмування автомобіля від його швидкості: І – на сухій бруківці, ІІ - на мокрій бруківці, ІІІ –на бруківці в ожеледицю. а) при яких умовах збільшується довжина шляху гальмування? б) знайдіть наближено шлях гальмування автомобіля при кожному стані бруківки, якщо він рухається зі швидкістю 50 км/год.
в) яка з функцій, зображених на малюнку зростає швидше? г) яку швидкість треба вибрати для безпеки руху: на мокрій бруківці (в ожеледицю)?
1.19. На рисунку зображений графік руху двох туристів, які вийшли одночасно назустріч один одному з пунктів А і В. а) скільки часу був у дорозі кожен з них? б) коли кожен турист прибув на місце зупинки? в) скільки часу кожен з них відпочивав? г) з якою швидкістю рухався кожний турист до зупинки та після неї?

1.20. У якій точці графік функції перетинає вісь ординат:

а) ; б) ;

в) ; г) .

1.21. У яких точках графік функції перетинає вісь абсцис:

а) ; б) ;

в) ; г) .

ПРАЦЮЄМО ВДОМА

Домашнє завдання 1: Функція. Властивості графіка функції

Завдання:

А) Знайти область визначення функції; у випадку а) знайти функцію, обернену до даної;

Б) Перевірити на парність;

В) Дослідити графік функції за схемою:

1) область визначення функції ;

2) множина значень функції ;

3) проміжки знакосталості;

4) проміжки монотонності;

5) нулі функції;

6) точки перетину з віссю оу;

7) парність;

8) неперервність;

9) оборотність; якщо функція оборотна, то побудуйте графік оберненої функції.

	А	Б	В
1	а) ; б) ; в) ;
2	а) ; б) ; в) ;
3	а) ; б) ; в) ;
4	а) ; б) ; в) ;
5	а) ; б) ; в) ;
6	а) ; б) ; в) ;
7	а) ; б) ; в) ;
8	а) ; б) ; в) ;
9	а) ; б) ; в) ;
10	а) ; б) ; в) ;