Означення функцїї. Способи задання функції. Область визначення. Множина значень

Функцією називається залежність змінної у від змінної х, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу х із множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е.

Функцію позначають латинськими буквами f, g, h... (або f(x), g(x), h(x)...) або рівностями

у = f(x), у = g(x), у = h(x)...

х – аргумент (незалежна змінна);

у - функція (залежна змінна);

f – функція;

f(x₀) – значення функції f у точці x_0.

Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок пло­щини з координатами (x;f(x)) , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(x), а друга координата — це відповідні значення функції в точці х.

ЗВЕРНИ УВАГУ!

Не кожна множина точок координатної площини являється функцією. Наприклад на кривій значенню аргументу відповідають п’ять значень функції у = у1, у2, у3, у4, у3. Не кожна залежність буде функцією. Так наприклад залежність між змінними х та у , що задана рівнянням , не являється функціональною, оскільки значенню х з інтервалу (-1;1) відповідають два значення у: ,

Способи задання функції:

1. Аналітичний	2. Графічний (геометричний)	3. Табличний.
		х 0 1 2 у 0 2 4

Усі способи задання функції доповнюють один одного, а іноді виникає потреба перейти від одного способу задання функції до іншого.

Область визначення функції (від анг. define — визначити) - множина значень, яких набуває незалежна змінна х (значення аргументу, при яких функція існує).

Функція	Область визначення функції (ОДЗ)
1. (многочлен n-го степеня)
2. (дріб де і - многочлени)	крім (знаменник дробу не дорівнює 0)
3.	(арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел)
4.

Приклад 1. Знайти ОДЗ

.

Приклад 2. Знайти ОДЗ

ОДЗ: ,

Приклад 3. Знайти ОДЗ

ОДЗ: ,

.

Множина значень функції (від анг. exist — існувати) - множина значень, яких набуває залежна змінна у при всіх значеннях х.

Нулі функції - значення аргументу при яких функція дорівнює нулю, тобто розв’язок рівняння (абсциси точок перетину графіка з віссю ох).

Приклад 4. Знайти нулі функції

,

Властивості функції: монотонність, парність, непарність, неперервність Монотонність функції

Зростаюча або спадна функції називаються монотонними.

Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто: якщо х2>х1 то .	Функція називається спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто: якщо х2>х1 то .

Приклад 5. Доведіть, що функція , зростаюча на всій області визначення.

1. Знаходимо ОДЗ:
2. Вибираємо два довільні значення аргументу х з області визначення, причому :		>
3. Підставляємо значення аргументу в функцію:	,		,
4. Перевіряємо виконання умови :		>

Отже, функція - зростаюча на всій ОДЗ.

Приклад 6. Доведіть, що функція спадає на проміжку х<0.

1. ОДЗ:

2.		>
3.	,		,
4.		<

Отже, функція - спадає на проміжку х<0.