Розв’язування логарифмічних нерівностей

Логарифмічні нерівності – це нерівності, які містять змінну під знаком логарифма.

Найпростіші логарифмічні нерівності мають вигляд , ( ).

ЗАПАМ’ЯТАЙ

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, враховуй: при функція зростає (↑), знак нерівності не змінюємо; при функція спадає (↓), знак нерівності змінюємо; потрібно обов’язково знаходити ОДЗ: .

Логарифмічна нерівність виду еквівалентна системі нерівностей

Логарифмічна нерівність виду еквівалентна системі нерівностей

Приклади розв’язування логарифмічних нерівностей:
при зростанні більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тому при потенціюванні знак нерівності не змінюється.	при спаданні більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тому при потенціюванні знак нерівності міняється на протилежний.
Приклад 18. ; ; - функція ↑, знак нерівності не змінюємо. Відповідь: .	- функція ↓, знак нерівності змінюємо. Відповідь: .

Логарифмічні нерівності, які зводяться до розв’язування квадратних нерівностей:

Приклад 20.

Нехай , тоді маємо

.

Робимо зворотну заміну: , так як - функція ↑, знак нерівності не змінюємо.

Відповідь: .

ПРАЦЮЄМО НА УРОЦІ

Середній рівень

4.13. Розв’язати нерівність:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) ; ж) ; з) .

Достатній рівень

4.14. Розв’язати нерівність:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Високий рівень

4.15. Розв’язати нерівність:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4.16. Розв’язати нерівність:

а) ; б)

в) ; г) .

Н А ЗАМІТКУ СУДНОМЕХАНІКУ

• У гідротехніці по логарифмічній спіралі вигинають трубу, що підводить потік води до турбіни. Завдяки такій формі труби втрати енергії при зміні напряму течії в трубі виявляються мінімальними і напір води використовується з максимальною продуктивністю.

• Логарифмічна функція моделює такі процеси:

• закон зміни роботи газу;

• закон зміни тиску від зміни висоти;

• тривалість хімічної реакції;

• залежність збільшення величини банківського вкладу від пройденого часу.

• К.Ціолковський вивів формулу для розрахунку абсолютної швидкості, якої досягне ракета, коли з неї витече все паливо. Ця формула містить логарифм.

Н АВКОЛО СВІТУ

• Побудова будинку у вигляді морської мушлі в Мехіко базується на формулі логарифмічної спіралі. Творці Наутилуса - так називається проект - спробували створити відчуття четвертого виміру, яке повинне виникати, якщо знаходитися всередині будівлі.

• Особливості логарифмічної спіралі вражали не лише математиків. Їх геометричні властивості, зокрема інваріантність(збереження кута), дивує і біологів. Вони вважають саме цю спіраль свого роду стандартом біологічних об'єктів різного походження. Логарифмічна спіраль – єдиний тип спіралі, яка не змінює своєї форми при збільшенні розмірів. Ця властивість пояснює чому логарифмічна спіраль так часто зустрічається у природі.

• В ластивості будови слухового апарату людини відповідають властивостям логарифмічної функції. Тому діапазон звуків, що сприймає вухо, низький – від шелесту листя до гуркоту грому.

Схема загальної будови людського вуха. Завитка являє собою спірально закручену трубку, утворену із 2,75 витка.

• Шум і зорі об'єднуються тому, що гучність шуму і яскравість зір оцінюються однаковим чином – по логарифмічній шкалі.

• По логарифмічній спіралі закручена Галактика, якій належить Сонячна система. “ Величина ” зірки являє собою логарифм її фізичної яскравості.

• Оцінюючи яскравість зір, астроном оперує таблицею логарифмів, складених при основі 2,5.

ПРАЦЮЄМО ВДОМА

Домашнє завдання 6: Розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей

Завдання:

1. Розв’язати рівняння (а-б середній рівень; в-г достатній рівень; д високий рівень).

2. Розв’язати нерівність.

	Розв’язати рівняння	Розв’язати нерівність
	а) б) в) ; г) ;	а) б)
	а) б) в) ; г) ;	а) б)
	а) б) в) ; г)	а) б)
	а) б) в) г)	а) б)
	а) б) в) ; г)	а) б)
	а) б) в) ; г)	а) б)
	а) б) в) ; г) ;	а) б)
	а) б) в) ; г)	а) б)
	а) б) ; в) ; г)	а) б)
	а) б) в) ; г) ;	а) б)

ПОВТОРЕННЯ