Властивості та графіки логарифмічної функції

Логарифмічною називається функція виду , де .

Властивості логарифмічної функції:
1	Область визначення: ;
2	Множина значень: ;
3	Логарифмічна функція являється ні парною, ні непарною (індиферентна);
4	Точки перетину з осями координат: вісь ох : , то . Точка (1; 0); вісь оу: перетину з віссю оу немає;
5	Проміжки знакосталості:
	, при , , при ;	, при , , при ;
6	Проміжки монотонності:
	якщо - зростає на (0; ∞);	якщо - спадає на (0; ∞);
7	Неперервна на (0; ∞);
8	Логарифмічна функція – обернена до показникової на (0; ∞). Графіки цих функцій симетричні відносно прямої х = у.

ЗАПАМ’ЯТАЙ

Умови ОДЗ логарифмічної функції : 1. - підлогарифмічний вираз повинен бути більше нуля; 2. - основа логарифму повинна бути більше нуля і не дорівнювати одиниці.

ПРАЦЮЄМО НА УРОЦІ

4.6. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) ; и) .

4.7. Зобразити схематично графіки функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Розв’язування логарифмічних рівнянь

Логарифмічне рівняння – рівняння, яке містить змінну під знаком логарифма.

Наприклад: , і т. д.

Н айпростіше логарифмічне рівняння має вигляд:

- будь-яке число.

Під час розв’язування логарифмічних рівнянь часто переходять до нерівнозначних рівнянь, тому необхідно перевіряти знайдені корені. Таку перевірку можна виконати двома способами:

• підстановкою коренів в вихідне рівняння;

• знаходження ОДЗ вихідного рівняння і підстановкою знайдених коренів в область визначення.

Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь:

1. Розв’язування рівнянь з використанням означення логарифма

2. Безпосереднє потенціювання

3. Зведення до квадратного рівняння (введення допоміжної змінної)

4. Логарифмування обох частин рівняння

5. Приведення до однієї основи

6. Графічний метод.

В основному, всі логарифмічні рівняння, зводяться до розв'язування найпростіших логарифмічних рівнянь.

метод. Розв‘язування рівнянь з використанням означення логарифма

Цим способом розв’язують найпростіші логарифмічні рівняння:

а) рівняння виду при умові .

За означенням логарифма випливає, що . Отже дане рівняння рівносильне:

	1. ОДЗ: ,
	2.

При такому способі розв’язування сторонніх коренів не може бути, тому в перевірці немає необхідності.

Приклад 5:

Відповідь:

Приклад 6.

1. ОДЗ:

2. ,

Оскільки , число 16 є коренем рівняння

Відповідь:

б) рівняння виду при умові .

Із цього рівняння випливає, що . Дійсно із рівності на підставі означення логарифма і основної логарифмічної тотожності маємо: . Отже дане рівняння рівнозначне:

	1. ОДЗ: ,
	2.

Приклад 7.

1. ОДЗ:

2.

Так, як не належить ОДЗ, то дане число не є коренем рівняння.

Відповідь: .

Можна було б просто розв’язати рівняння , а потім перевірити знайдені корені підставивши їх в вихідне рівняння.

в ) рівняння виду рівносильне

	1. ОДЗ:
	2.

Приклад 8.

1. ОДЗ:

2.

Так, як число належить ОДЗ, то воно є коренем даного рівняння

Відповідь: .

метод. Безпосереднє потенціювання

Використовують коли існує сума або різниця логарифмів з однаковими основами. Змінна може міститися в підлогарифмічному виразі та в основі.

а) Рівняння виду , де рівнозначне:

	1. ОДЗ:
	2.

П риклад 9.

1. ОДЗ:

2. ,

,

,

,

,

, або

Враховуючи, що число не належать ОДЗ, воно не є коренем даного рівняння, а число належить ОДЗ

Відповідь: .

Приклад 10.

1 . ОДЗ:

2. ,

Враховуючи, що число не належать ОДЗ, воно не є коренем даного рівняння, а число належить ОДЗ.

Відповідь: .

б ) Рівняння виду , де рівнозначне:

	1. ОДЗ:
	2.
П риклад 11. ,
І спосіб (знаходження ОДЗ):	ІІ спосіб (перевірка):
1. ОДЗ: 2. Оскільки , то число 8 є коренем рівняння Відповідь: .	Перевірка: Таким чином ми отримали рівнозначну рівність, отже число 8 є коренем рівняння.

Приклад 12.

1. ОДЗ:

2 . В цьому рівнянні основа логарифма – число 10, ,

Отримаємо рівняння: ,

,

Так, як число не належить ОДЗ, то воно не є коренем даного рівняння.

Відповідь: .

м етод. Зведення до квадратного рівняння (введення допоміжної змінної)

Його використовують коли у рівнянні є логарифм даного числа з даною основою та квадрат такого ж самого логарифма:

,

нехай ,

тоді отримаємо рівняння з новою змінною .

Приклад 13.

1. ОДЗ:

2.

Нехай тоді отримаємо:

,

Виконаємо зворотну заміну:

, або ,

,

Враховуючи, що числа та належать ОДЗ, вони є коренями даного рівняння.

Відповідь: , .

Приклад 14.

1. ОДЗ:

2. Використаємо формулу логарифму добутку:

Нехай тоді отримаємо:

Виконаємо зворотну заміну:

, або ,

,

Враховуючи, що числа та належать ОДЗ, вони є коренями даного рівняння.

Або перевірка:

: ; або : ;

- вірно - вірно

Отримані рівності при перевірці вказують на те, що та є коренями рівняння.

Відповідь: ,

м етод. Логарифмування обох частин рівняння

Використовують для розв’язування рівнянь, які містять змінну в основі і в показнику степеня. Якщо в умові є логарифм, то обидві частини рівняння необхідно прологарифмувати саме за основою цього логарифма.

Приклад 15.

1. ОДЗ

2. Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою 2.

,

,

,

Нехай , тоді отримаємо

,

Виконуємо зворотну заміну:

або

, ,

,

Обидва корені рівняння задовольняють умову ОДЗ

В ідповідь: , .

метод. Приведення до однієї основи.

Використовують для розв’язування логарифмічних рівнянь з різними основами, застосовуючи формулу переходу до нової основи.

Приклад 16.

1. ОДЗ:

2. Перейдемо до основи 3:

,

,

Число належать ОДЗ, отже воно є коренем даного рівняння

Відповідь: .

м етод. Графічний метод

Приклад 17. Розв'яжіть рівняння графічно. В одній і тій самій системі координат будуємо графіки функції і (рис. 165). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х=1 корінь даного рівняння. Відповідь: х=1.

П РАЦЮЄМО НА УРОЦІ

Середній рівень

4.8. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

Достатній рівень

4.9. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) .

4.10. Розв’язати рівняння:

а) ; б)

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) ;

и) .

Високий рівень

4.11. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) ;

н) .

4.12. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) .