Упражнения.

1. Доказать, что: а)   {}; б) {{1, 2},{2, 3}}  {1, 2, 3}.

2. а) Найти все подмножества множества {1, 2, 3}; б) доказать, что число всех подмножеств конечного множества, состоящего из к элементов имеет 2^к всех подмножеств.

3. Найти и изобразить на числовой прямой множества АВ, А \ В, АВ, В\А, если

а) А = {-1,0,3,4}; В = {0,4,6};

б) А = [0;2]; B = [1;5];

в) А = (0;2]; B = {0,2,6};

г) А = (-;7]; B = (5,8);

д) А = [1;3)(5;7]; В = (2 ; 6).

*4). Изобразить на координатной плоскости ХОУ множества решений следующих уравнений:

а) х² – у² = 0; б) ху = 0; в) |x| = -|y|; г) (х² – 4)² + (у² – 9)² = 0.

*5). Изобразить на координатной плоскости ХОУ множества А, В, АВ, А \ В, АВ, В\А, А,В, где А = {х,yR| х² + у² 4}; B = {x,y R| х² y}.

6). Известно, что из 100 учащихся в секциях спортклуба занимаются: в гимнастической – 28, в волейбольной – 42, в баскетбольной – 30, в гимнастической и волейбольной – 10, в гимнастической и баскетбольной – 8, в волейбольной и баскетбольной – 5, во всех трёх секциях – 3. Найти:

а) сколько студентов занимались только в одной волейбольной секции?

б) сколько студентов не занимались ни в одной секции?

7). Из ста учеников 24 не изучают никакого языка, 26 – изучают немецкий, 48 – французский, 8 – французский и английский; 8 – немецкий и французский, 18 – только немецкий, 23 – немецкий, но не английский. Сколько учеников изучают только английский язык?

Дополнительные задачи.

1). Закончить фразы: а) Множество А не является подмножеством множества В, если … .

б) Множества А и В не равны, если ….

2). Сколько элементов в множестве{}?

5) Докажите, что можно выписать все подмножества множества из n элементов в таком порядке, чтобы каждое следующее получалось из предыдущего добавлением или удалением одного элемента.

6). Имеется набор из 20 гирь, каждая весит целое число граммов, и суммарный вес гирь менее тонны. Доказать, что можно достичь равновесия, положив часть гирь на одну чашку весов, а часть – на другую (не обязательно использовать все гири).

7). Нарисуйте множества АB , AB, A\B и АΔВ, если А и В – множества точек, лежащих внутри пересекающихся кругов.

Замечание: АΔВ = {x/ (xA&xB) или(хА&xB)}.

8). Какие из равенств: а) А(В\C)=(AB)\C, б) А(В\С)=(АВ)\C, в) АΔ(ВΔС)=(АΔВ) ΔС верны для любых трёх множеств А,В,С?

9). Напишите формулу АΔВ через операции , , \.

10). Можно ли написать формулу, которая выражает А\В через операции объединения и пересечения?

11). Какое максимальное число сторон может быть в многоугольнике, являющемся: а) пересечением треугольника и квадрата, б) объединением треугольника и квадрата?

12). Даны n множеств. За один шаг можно заменить любые два из них на их симметрическую разность (Δ). Шаги повторяются, пока не останется одно множество. Доказать, что оставшееся множество не зависит от того, какие именно операции выполняются.

Обозначение: |А| - число элементов множества А.

13). Как найти |AB|, если известны |A|, |B| и | AB|?

14). Какое максимальное число четырёхэлементных подмножеств можно выбрать в девятиэлементном множестве, если пересечение любых двух выбранных подмножеств должно содержать не более одного элемента?

15). Укажите семь трёхэлементных подмножеств в семиэлементном множестве, любые два из которых имеют ровно один общий элемент.

16). Докажите формулу включений и исключений для трёх множеств:

|AB C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|A C|-|B C|+|ABC| .

17). Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для n множеств.

18). Легко видеть, что для любых конечных множеств А и В выполняется формула |AΔB|=|A|+|B|-2|AB|. Придумайте и докажите аналогичную формулу: а) для |AΔBΔC|, б) для симметрической разности n множеств.

19). Расстояние d(A,B) между двумя конечными множествами А и В определим как число элементов в АΔВ. Доказать неравенство треугольника: d(А,С) ≤ d(A,B) + d(B,C).

20). Доказать, что, если равенство двух выражений, содержащих множества А, В, С, … выполняется не всегда, то можно найти контрпример, в котором множества состоят не более, чем из одного элемента.

Придумайте способ, который за конечное число шагов проверяет, всегда ли выполнено равенство такого вида.

Сколько различных выражений, содержащих переменные А₁,…,А_n и операции пересечения, объединения и разности, можно составить?

21). Лотерейный билет содержит цифры от 1 до 9. Во время тиража выбираются 5 цифр из 9. Игрок получает столько рублей, сколько цифр совпало. Сколько должен стоить билет, чтобы игра была честной? (Какого среднее число элементов в пересечении трёхэлементного и пятиэлементного подмножеств девятиэлементного множества?).