Равенство множеств.

Определение. Множества А и В называются равными если они состоят из одних и тех же элементов.

Обозначение: А = В.

Примеры. 1). {1, 2, 3}={2, 1, 3}={1, 3, 2}; {1, 2, 3}  {1, 2, 4}.

2). Z⁺ = N; {xR/ x² + 1=0}= .

Важно понимать, что элемент и множество это разные понятия; поэтому нельзя писать: 2={2}, ибо слева в равенстве стоит элемент 2, а справа – множество {2}.

Теорема 1. Равенство множеств обладает свойствами:

1). Каждое множество равно самому себе: А = А (свойство рефлексивности).

2). Если А = В, то В = А (свойство симметричности).

3). Если А = В и В = С, то А = С (свойство транзитивности).

Полезно отметить, что любое отношение (в данном случае – отношение равенства множеств), обладающее этими тремя свойствами в алгебре называется отношением эквивалентности; из хорошо известных к таким, например, относится отношение параллельности прямых на плоскости.

Доказательство. Самостоятельно.

Включение множеств.

Определение. Множество А называется подмножеством множества В ( А содержится в В, или А включено в В) если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначение: А  В.

Символом А  В будем обозначать тот факт, что множество А не содержится во множестве В.

Примеры. 1). NZQR; 2) Множество параллелограммов есть подмножество множества всех четырёхугольников; 3) {1, 2} {3, 1, 4, 2}.

Теорема 2. Для любого множества А справедливы включения: 1)   А; 2) А  А.

Доказательство. 1) (от противного) пусть   А. Тогда по определению включения существует элемент а, который принадлежит и множеству В; но пустому множеству не принадлежит ни один элемент. Противоречие. Следовательно   А.

2) Пусть аА, тогда аА и по определению А  А.

Теорема 3. Отношение включения множеств обладает свойствами:

1). Каждое множество содержится в себе: а а (рефлексивность).

2). Если А В и В А, то А=В (антисимметричность).

3). Если а в и в с, то а с (транзитивность).

Доказательство. Самостоятельно.

Отношение, обладающее перечисленными выше тремя свойствами в алгебре называется отношением порядка. В арифметике таковым является отношение меньше либо равно ( ).

Теорема 4. множества А и В равны т. и т. т., к. А В и В А.

Доказательство. Самостоятельно.

В приложениях теории множеств обычно рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве U, называемом универсальным, все остальные множества являются его подмножествами. Оно, вообще говоря, зависит от рассматриваемой задачи или теории. Например, в теории чисел в качестве U выбирается обычно множество целых чисел Z.

Операции над множествами.

Определение 1. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит множеству А или множеству В.

Обозначение: АВ. АВ = { х / хА или хВ }.

А	В	АВ
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Определение 2. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит как множеству А так и множеству В.

Обозначение: АВ. АВ = { х / хА и хВ }.

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Определение 3. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В.

Обозначение: А \ В. А/В = { х / хА и хВ }.

А	В	А\В
1	1	0
1	0	1
0	1	0
0	0	0

Определение 4. Пусть А U. Дополнением множества А до множества U называется множество U \ А.

Обозначение: А. А = { x / xА }.

А	А
1	0
0	1

Теорема 6. Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы равенства:

1) (АВ) С = А(ВС); (АВ) С = А (ВС);

Свойство ассоциативности операций объединения и пересечения.

2) АВ = ВА; АВ = ВА;

коммутативность объединения и пересечения.

3) А(ВС) = (АВ) (АС ); А(ВС) = (АВ)  (АС);

дистрибутивность объединения относительно пересечения и – пересечения относительно объединения.

4) А =А; А  U=А;

5) А U=U; А  =;

6) А А =А; А  А = А;

идемпотентность объединения и пересечения.

7) = А; инволюция.

8)  = U ; U =  .

9) АВ =А В; АВ =  А В;

законы А. де Моргана.

Доказательство. Докажем, например, 3):

А	В	С	ВС	А(ВС)	АВ	АС	(АВ)( АС)
1 1 1 0 1 0 0 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 0 0 1 0	1 0 0 1 0 0 0 0	1 1 1 1 1 0 0 0	1 1 1 1 1 1 0 0	1 1 1 1 1 0 1 0	1 1 1 1 1 0 0 0

Во всех приведённых выше таблицах цифра 1 означает, что элемент принадлежит множеству; цифра 0 –

не принадлежит. Если выделенные столбцы имеют одинаковые значения в строчках, то это и доказывает

равенства множеств, т. к. в таблице разобраны все возможные случаи принадлежности элемента каждому

из участвующих в операциях множеств.

Система координат на плоскости.

Смотреть конспект и учебник.