5

Элементы теории множеств.

Понятие множества является основным в математике, т. е. не определяется посредством других ранее введённых понятий, точно так же, как и элемент множества. Оба этих понятия неразрывно связаны друг с другом, ибо множество состоит из элементов, и элемент сам по себе существовать не может, он обязан принадлежать какому-то множеству. Ниже множества будем обозначать прописными латинскими буквами, а элементы - строчными . Символ аА означает: элемент а принадлежит множеству А,

аА: элемент а не принадлежит множеству А.

Множество А считается заданным, если известны все его элементы, или указано характерестическое сойство его элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы множества А и только они.

Наиболее важные способы задания множеств – следующие:

1. Перечислением всех его элементов.

Примеры. 1). Множество цифр: {0, 1, 2, …, 9}. Обратите внимание, множество при этом записывается в фигурных скобках перечислением через запятую (или точку с запятой) всех элементов.

2). Множество больших планет солнечной системы: {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон}.

2. Характеристическим свойством.

Примеры. 1). {х /х – целое число и х делится на 2} – множество чётных чисел.

Обратите внимание, запись: { х / f(x)} обозначает множество всех тех и только тех элементов x,

каждый из которых обладает свойством f.

2). {х / хR и х² – 5х + 6 < 0 } = {xR / 2 < x < 3 } = (2 ; 3). Обратите внимание, одно из свойств (а именно то, в котором элемент принадлежит известному множеству, R – множество действительных чисел) можно записывать до вертикальной черты.

3). {х / х – житель Череповца и х – чемпион мира по школьной биологии} = { Разов Роман}. Замечание. Задавая свойство f для элемента х, который должен обладать им, заранее не известно есть ли такой элемент вообще. Поэтому при задании этим способом множества часто случается так, что в нём нет элементов. Например, {х / х – акула и х обитает в реке Шексна}. Такое множество называется пустым и обозначается: .

Числовые множества.

N = {1; 2; 3; 4; … } – множество натуральных чисел. Здесь многоточие означает, что перечисление элементов в заданном алгоритме продолжается неограниченно.

Z = { … -2; -1; 0; 1; 2; … } – множество целых чисел.

Q = { x | x=m/n – обыкновенная несократимая дробь; mZ ; nN} – множество рациональных чисел.

R – множество действительных чисел: пока его можно понимать, как множество длин всевозможных отрезков, противоположные к ним числа и число 0.

R⁺ - множество всех положительных действительных чисел (длины отрезков).

R ^- - множество всех отрицательных действительных чисел.

Аналогично понимаются обозначения: Z^- ; Q^-.

Отрезок [a; b] = { xR | a x b }.

Полуотрезок [a; b) = { xR | a x <b }.

Полуинтервал (a; b] = { xR | a< x b }.

Интервал (a; b) = { xR | a< x <b }. Здесь a, b являются действительными числами.

Символы: , + , -  (бесконечность, плюс бесконечность, минус бесконечность) – числами не являются.

Они служат для обозначения так называемых бесконечных промежутков. Например: (- ; +) = R;

(- ; 3] = {x | x  3 } ; (-2 ; + ) = {x | -2 < x } и т. д.

Перечисленные выше множества, т.е. – интервал, полуинтервал, отрезок, полуотрезок, назовём промежутками.

Числовая прямая. Измерение длин отрезков.

Смотреть конспект и учебник.