.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля

Если положить в (3.11) и , получаем одну из форм уравнения Ван дер Поля

.(3.14)

Особенность этого уравнения состоит в том, что, когда мало, трение отрицательно; оно становится положительным при больших . С помощью компьютерной техники можно построить семейство траекторий уравнения Ван дер Поля на фазовой плоскости («фазовый портрет»). На рис. 3.5 приведен типичный фазовый портрет для различных значений . Обсудим, что происходит при изменении . Вблизи начала координат фазовые траектории имеют форму логарифмических спиралей, однако вместо того, чтобы уходить в бесконечность, они сходятся к замкнутой кривой. Траектории, начинающиеся в бесконечности, стремятся к той же самой замкнутой кривой (предельному циклу), которая изображает периодическое движение с постоянной амплитудой.

Рис. 3.5 Фазовые портреты генератора Ван дер Поля при различных значениях параметра x

Для малых , например, предельный цикл только слегка отличается от эллипса рис. 3.5 - а, что указывает на синусоидальность колебаний; однако его форма меняется весьма резко с ростом - рис. 3.5 - б. Соответствующие графики, изображающие установление во времени амплитуды колебаний , растущих к предельному циклу, показаны на рис. 3.6. Видно, что при движение плавное и оченьблизко к синусоидальному.

Рис. 3.6 Изменение характера колебаний с ростом нелинейности

При (рис. 3.5 - в) колебание состоит из резких переходов между амплитудами противоположного знака; по этой причине Ван дер Поль назвал данный тип движения релаксационным колебанием. Он использовал его, чтобы объяснить работу сердца. Заслуживает внимания, что увеличение нелинейного трения (рост коэффициента ) не только вызывает переход от синусоидальных колебаний к релаксационным, но и понижает частоту первых. Это полная противоположность случаю свободных колебаний линейной системы, обсуждавшемуся ранее.

Устойчивость автоколебательного типа движения можно исследовать методом «уравнений для вариаций». Можно показать, что движение, соответствующее периодическому решению , устойчиво, если линейный интеграл

,(3.15)

где определено (3.11).

Теория колебаний при нелинейном трении, обзор которой дан в этом разделе, имеет важные применения в технике связи.Кроме того, известно, что различные биологические процессы хорошо описываются уравнениями, подобными (3.11). Физиологическая реакция некоторых групп людей на изменение деловой обстановки вне всякого сомнения демонстрирует определенную аналогию с поведением генераторов незатухающих колебаний. Релаксационные колебания встречаются не только в электронике и биологии, но и в экономике. Например, крах на фондовой бирже - это релаксационное колебание, один его цикл. Релаксационное колебание характеризуется длинными интервалами спокойствия, за которыми следует внезапное, иногда катастрофическое изменение в течение очень короткого интервала времени.

Релаксационное колебание служит также исключительно удачным примером для иллюстрации механизма фазовой синхронизации. Изменяя степень нелинейности (изменяя ), можно изменить частоту генератора. Прикладывая внешний сигнал, можно изменить фазу и частоту релаксационных колебаний до уровня, где происходит их привязка к фазе и частоте внешнего сигнала.

Подведем итог, отметив, что было изучено два крайних типа колебаний: синусоидальныеи релаксационные. Как мы видели, синусоидальное колебание имеет плавное, непрерывное течение процесса, связанного с обменом энергией между двумя ее резервуарами. Комбинация из пружины и массы периодически обменивает потенциальную и кинетическую энергию. В генераторе существует обмен энергией между емкостью и индуктивностью.

При релаксационных колебаниях нет двух взаимно переключающихся резервуаров энергии. Имеется единственный накопитель энергии, который постепенно наполняется. Когда резервуар заполняется до определенного уровня, открывается выходной клапан, через который резервуар опорожняется, после чего снова начинается заполнение. При синусоидальных колебаниях сигнал, поступающий через цепь обратной связи, подталкивает генератор непрерывно, предохраняя колебания от затухания, подобно тому, как подталкивают качели с ребенком. Напротив, при релаксационном колебании нет резонансной частоты, но зато имеется пороговый эффект. Когда достигается порог, резервуар опорожняется, хотя источник, который наполняет его, продолжает действовать. Такое положение возникает при работе сердца.