Колебание синхронизация фазокогерентный связь

3. Незатухающие и релаксационные колебания

В этом разделе мы приступим к рассмотрению нелинейной задачи для случая, когда трение нелинейно, а восстанавливающая сила предполагается линейной. Нелинейность силы трения будет такова, что когда амплитуда колебаний увеличивается, скорость убывает; а при уменьшении амплитуды скорость растет. Следовательно, в этом случае состояние покоя неустойчиво, и колебание нарастает даже в отсутствие внешних сил или сигналов. Это явление объясняет, почему такие колебания называют самовозбуждающимися (самоподдерживающимися), или автоколебаниями.

Наиболее наглядными системами, которые приводят к автоколебаниям, являются электрические цепи, содержащие вакуумные лампы или транзисторы. Эти схемы используются в технике связи в качестве автогенераторов, частота колебаний которых управляется напряжением модуляторов и т. д. Электрическая схема, изображающая автогенератор с трансформаторной обратной связью, показана на рис. 3.1. Эта практически интересная схема описывается дифференциальным уравнением, которое мы намерены изучать. Приступим к выводу дифференциального уравнения для тока , протекающего через катушку индуктивности генератора.

Рис. 3.1 Схема генератора с обратной связью

Предположим, что сеточным током можно пренебречь. Заметим что полный ток, протекающий в анодной цепи,

.(3.1)

Используя элементарные соотношения между током и напряжением, легко написать

.(3.2)

Напряжение на сетке обеспечивается взаимной индуктивностью :

,(3.3)

а потенциал анода

,(3.4)

где - напряжение батареи.

До сих пор еще не были использованы характеристики самой лампы. Лампа - это нелинейный элемент, сконструированный так, что с достаточно хорошей точностью анодный ток в нем зависит от линейной комбинации напряжения на сетке и анодного напряжения , поэтому можно написать

,(3.5)

где

,(3.6)

причем - константа, определяемая коэффициентом усиления лампы. Функцию иногда называют характеристикой лампы, и она, вообще говоря, существенно нелинейна.

На основании (3.3) - (3.6) можно написать

,(3.7)

и из (3.5) следует, что (3.7) - нелинейное дифференциальное уравнение, в котором нелинейность связана с первой производной. Если ввести новую зависимую переменную

,(3.8)

то (3.2) переходит в

,(3.9)

где и ,

.(3.10)

Предположим далее, что . Без этого условия, как впоследствии увидим, незатухающие колебания были бы невозможны. Важно также иметь возможность подобрать характеристику лампы и установить параметры схемы так, чтобы для , но для больших . Это означает, что «трение» отрицательно для малых , так что на основе наших предыдущих рассуждений можно было бы ожидать, что амплитуда будет возрастать. Однако при больших система рассеивает энергию, и поэтому можно ожидать, что амплитуда должна быть ограничена сверху. Следовательно, после окончания переходного процесса, вероятно, установятся колебания определенной амплитуды.

Первоначальные исследования, посвященные решениям уравнения (3.9), принадлежат Ван дер Полю [5], который предпочитал работать с эквивалентным уравнением для . Подставляя и дифференцируя (3.9) по , получаем

,(3.11)

где . Если характеристика лампы такова, что принадлежит к типу, изображенному на рис. 3.2 - а, то имеет вид, показанный на рис. 3.2 - б. Для малых , а для больших , что указывает на возможность существования незатухающих колебаний.

Рис. 3.2 Характеристики схемы с обратной связью

Чтобы исследовать переходный процесс в системе (3.9), аппроксимируем отрезками прямых (рис. 3.3). Тогда можно искать приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения на каждом из отрезков и . Запишем (3.9) как систему двух уравнений:

,(3.12)

где - скорость изменения , и предположим , т.е. . Из (3.12) следует

.(3.13)

Рис. 3.3 Кусочно-линейная аппроксимация нелинейного трения

Если построить решения уравнения (3.13) на фазовой плоскости , возникает семейство кривых, которое определяет переходный процесс в системе для любых комбинаций начального положения и скорости .

Если бы трение было равно нулю, можно было бы непосредственно интегрировать предыдущее уравнение, что привело бы к уравнению для энергии вида , где - постоянная интегрирования. На фазовой плоскости это решение образует набор окружностей (см. рис. 2.1) для различных . Если подставить решение в уравнения, получается привычный результат и , т. е. простое гармоническое движение. Если же добавить положительное трение, тотраектории будут накручиваться по спирали на начало координат.

Для полигональной функции трения (рис. 3.3) можно «сшить» на фазовой плоскости спирали, соответствующие трем линейным отрезкам . В каждой из трех областей строятся соответствующие траектории и соединяются на границах (рис. 3.4). В центральной области спиральные траектории раскручиваются; в верхней и нижней областях они скручиваются.

При некоторой промежуточной амплитуде имеется замкнутая кривая, которая не скручивается и не раскручивается. Все другие траектории стремятся к этому предельному циклу, который отображает стабильное периодическое колебание, осуществляемое системой самостоятельно.

Рис. 3.4 Фазовые траектории нелинейного генератора, включающие предельный цикл

Этот пример позволяет проиллюстрировать поведение простой нелинейной системы.

Конечно, если усложнить нелинейную функцию , можно ожидать, что получатся более сложные фазовые портреты. Одним из первых, кто исследовал поведение таких нелинейных систем, был Пуанкаре [4], работы которого были столь всеобъемлющи, что составили основу почти всего, что было сделано позднее.

Предельные циклы можно разделить на устойчивые, неустойчивые и нейтральные. Устойчивый предельный цикл - вид периодического колебания, которое после воздействия возмущения возвращается к своему первоначальному состоянию. Колебание, соответствующее неустойчивому предельному циклу, никогда не возвращается к своему первоначальному виду после произвольно малого возмущения. Нейтральный предельный цикл зависит только от начальных условий, и любое возмущение изменяет его пропорционально величине возмущения. Фактически возмущения можно рассматривать как новые начальные условия; маятник без трения, который сохраняет информацию о протекании процесса в прошлом, служит здесь примером. Устойчивые предельные циклы иногда классифицируются как жесткие и мягкие.