2.2 Различные типы особенностей

Изучим четыре частных случая уравнения (2.24), в которых это дифференциальное уравнение может быть наглядно решено. Для наших целей эти четыре случая представляют четыре типа особенностей, которые важны в последующем.

Случай 1. Интегрирование этого уравнения дает выражение фазовых траекторий: . Если , ясно, что все графики - прямые линии, проходящие через начало координат (рис. 2.3 - а). Если , все кривые проходят через начало координат и касательны к оси , за исключением кривой (рис. 2.3 - б). Если , все траектории проходят через начало координат и касаются оси , за исключением траектории . Во всех трех случаях начало координат называют неустойчивой узловой точкой, или неустойчивым узлом.

Рис. 2.3 Фазовые портреты, иллюстрирующие особую точку типа «узел»

Ситуация совершенно отличается, если . Фазовые кривые имеют две асимптоты: , , совпадающие с осями координат. Лишь эти две траектории проходят через начало координат; все остальные избегают его. Этот тип особенности называют седлом (рис. 2.4). Седло - такая особая точка, к которой стремятся только траектории, являющиеся асимптотами фазовых кривых. Каждая асимптота называется сепаратриссой. В случае маятника без трения (см. рис. 2.2) неустойчивые состояния равновесия ( - нечетное) соответствуют особенностям этого рода.

Рис. 2.4 Поведение фазовых траекторий в окрестности особой точки типа «седло»

Случай 2. (т. е. ). Для этого случая , и фазовые кривые - эллипсы ( ) с центром в начале координат или окружности, когда . Такая особенность называется центром (см. рис. 2.1), а соответствующий фазовый портрет представляет периодическое движение. Устойчивые точки равновесия ( - любое целое число) маятника без трения (рис. 2.2) принадлежит к этому типу.

Случай 3. (т. е. ), причем . Это уравнение можно решить, вводя полярные координаты . В новых переменных уравнение сводится к , и траектории получаются как ; они представляют собой логарифмические спирали (рис. 2.5). Такая особенность при называется устойчивым фокусом (неустойчивый фокус при ) и встречается при нелинейном анализе ФАП в отсутствие шума. Если фокус устойчив, движение стремится к началу координат; в случае неустойчивости движение расходится от начала координат.

Случай 4. . Подстановка переводит это уравнение в более простое , откуда , или .

Рис. 2.5 Поведение фазовых траекторий в окрестности особой точки типа «фокус»

Все кривые (рис. 2.6) проходят через начало координат. Начало координат снова оказывается неустойчивым узлом.

Рис. 2.6 Поведение фазовых траекторий в окрестности узла

Наконец, согласно (2.20) наклон фазовой траектории является некоторой функцией и , скажем . Годограф точки, которая движется таким образом, что ( - константа), определен Ван дер Полем [5] как изоклина. Часто несложно методом изоклин определить тип особой точки и выяснить, является она устойчивой или нет.

.3 Маятник с трением, пропорциональным модулю скорости

Для этого случая положим в (2.19) и и перейдем от (2.19) к уравнению I порядка для траекторий

,(2.25)

Очевидно, что особые точки, соответствующие состояниям равновесия, имеют место при , где - любое целое число, и . При правая часть (2.25) принимает форму , и это соответствует особенности, называемой центром (тип движения показан на рис. 2.1) или фокусом; однако наш критерий для классификации особых точек не позволяет различить эти два случая. При , , особенность называется центром, что соответствует случаю маятника без трения (см. рис. 2.1). Однако при наличии трения особенность является устойчивым фокусом. Мы знаем из предыдущего обсуждения,что при ( - нечетное), особая точка - «седло». Следовательно, особенности при , являются устойчивыми фокусами, если четное, и седлами, если нечетное. На рис. 2.7 показано схематически несколько характерных фазовых траекторий. Видно, что движение маятника стремится к устойчивому состоянию равновесия. Точки , соответствуют устойчивому состоянию равновесия. Точки , соответствуют устойчивым стационарным точкам ФАП.

Рис. 2.7 Фазовый портрет маятника с трением, пропорциональным модулю скорости

Хотя дифференциальное уравнение (2.25) существенно нелинейное, специфический вид функции позволяет найти точное решение (2.25). Фазовые траектории (рис. 2.7) можно получить в явном виде, если ввести в (2.25) новую переменную :

(2.26)

Эти уравнения - линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами относительно функции . Таким образом, решение (2.26) легко выписывается как

(2.27)

для и

(2.28)

для . В (2.27), (2.28) и - произвольные постоянные.