2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой
В этом разделе будем заниматься дифференциальным уравнением
,(2.19)
когда
и
.
В присутствии
переменные
и
не разделяются и выполнить явное
интегрирование, как в предыдущем разделе,
не удается. Дифференциальное уравнение
(2.19) возникает в теории маятника, когда
присутствуют силы трения. В данный
момент мы используем (2.19), чтобы ввести
понятие особенностей (особых точек на
фазовой плоскости).
Так как при
время
не входит явно в (2.19), можно свести это
уравнение к уравнению первого порядка,
вводя скорость
:
,(2.20)
что выражает наклон
,
касательной к траектории
в
точке
.Полезно
отметить, что в верхней полуплоскости
увеличивается
с ростом
,и,
следовательно, изображающая точка
движется слева направо с возрастанием
.
Наоборот, при
изображающая точка движется справа
налево. Из-за присутствия
в (2.20) невозможно, вообще говоря, разделить
переменные и получить кривые энергии.
Имеется некоторое преимущество в замене
одного уравнения (2.20) двумя дифференциальными
уравнениями первого порядка
,(2.21)
которые определяют
векторное поле с компонентами
.
Вектор поля всегда касателен к фазовой
траектории
и указывает, куда вдоль нее движется
изображающая точка [
]
на фазовой плоскости
с возрастанием
.Однако
это поле не имеет направления в точках,
где числитель и знаменатель (2.20)
одновременно обращаются в нуль, т. е.
при
.
Из (2.21) видно, что компоненты векторного
поля равны нулю в таких точках, называемых
особыми точками уравнения (2.20). Что
касается физической ситуации, то особая
точка соответствует положению равновесия
с нулевой скоростью. Такие особенности
встречались в случае маятника без трения
- при
.
Природа особенностей представляет
решающий фактор при определении
качественного характера решений, а
также существования периодических
решений.
В работах Пуанкаре [4] показано, что полного описания типов особенностей можно достигнуть, разобрав поведение фазовых траекторий в окрестности изолированной особой точки дифференциального уравнения
,(2.22)
которое получается из системы двух уравнений
.(2.22
- a)
Напомним, что под
особенностью уравнения (2.22) понимается
особая точка
,
в окрестности которой функция
перестает
быть непрерывной и удовлетворять условию
Липшица. Очевидно, точка равновесия
(
),
для которой,
,
является особой. Отметим, что уравнение
(2.22) [или система (2.22 - а)] является более
общим, чем (2.20) [или (2.21)], и переходит в
него в частном случае, когда
.
Пусть константы
и
таковы, что
,
а
и
стремятся к нулю так же, как
когда
и
.
Пуанкаре показал, что в указанных
условиях дифференциальное уравнение
,
(2.23)
имеет те же особенности, что и простое уравнение линейной системы
.(2.24)
Кроме того, Пуанкаре
показал, что критерий для различения
типов особенностей уравнения (2.23) можно
выразить через
и
.
В некоторых случаях
;
это означает, что имеют место особенности
более высокого порядка.