2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами

Основная цель этого раздела - дать краткий анализ механических или электрических систем, описываемых дифференциальным уравнением

(2.1)

при и . По аналогии с механической линейной системой, о которой только что шла речь, удобно здесь и в последующих главах трактовать член как силу инерции, - как демпфирующую силу или силу трения, - как возвращающую силу, а - как внешнюю силу, возбуждение или приложенный сигнал. Заменив , и мы получим уравнение (2.1), которое действительно в теории систем ФАП, отслеживающих монохроматический сигнал с постоянным фазовым сдвигом при использовании интегрирующего фильтра, т.е. при .

Другой пример физической задачи, которая приводит к тому же уравнению, - качаниероторов синхронных электрических машин, связанное с изменением нагрузки во времени.

Не будем рассматривать решения уравнения (2.1) во всей их общности, поскольку имеющиеся на сегодня знания относительно явления нелинейных колебаний в основном ограничены несколькими специальными случаями. Рассмотрим, однако, построение теории, которая существенна для понимания сути процессов синхронизации, слежения и когерентной демодуляции.

Рассмотрим сначала простейший вариант уравнения (2.1):

.(2.2)

Это случай свободных колебаний консервативной системы с нелинейной восстанавливающей силой . Наиболее изученный пример колебательного движения, описываемого уравнением (2.2), - это движение математического маятника; , где - длина маятника; - ускорение силы тяжести и - присоединенная масса. Переменная аналогична фазовой ошибке в системе ФАП. Если предположить, что мало, так что уравнение (2.2) можно линеаризовать (т. е. ), тогда, чтобы применить линейную теорию, (2.2) можно заменить на

, . (2.3)

Из предыдущего обсуждения случая , вытекает, что это уравнение соответствует периодическому движению с периодом ; таким образом, период не зависит от начальной скорости и начального отклонения. При больших отклонениях уравнение (2.3) несправедливо и необходимо обращаться к другим методам анализа.

Первый интеграл уравнения нелинейной консервативной системы можно легко получить, так как подстановка

(2.4)

сводит (2.2) к дифференциальному уравнению первого порядка, из которого исключено время:

,(2.5)

а переменные разделяются, т.е.

.(2.6)

Если при имеем , то интегрирование обеих частей дает

,(2.7)

что выражает закон сохранения энергии. Левая часть этого равенства представляет изменение кинетической энергии; правая часть - работу, выполненную восстанавливающей силой, или изменение потенциальной энергии. Согласно (2.7) имеем

.(2.8)

Разделяя переменные и интегрируя вторично, можно найти время как функцию отклонения:

.(2.9)

Необходимо понимать, что следует переходить с одной ветви квадратного корня на другую, когда проходит через нуль. Кривые, задаваемые (2.7), проходят на плоскости , через точку с координатами , и представляют собой кривые постоянной энергии; часто их называют кривыми энергии на фазовой плоскости. Как увидим впоследствии, отсюда довольно легко получить важную информацию об основных качественных сторонах движения. Поскольку и функции , кривые на плоскости , можно рассматривать как заданные в параметрической форме с в качестве параметра. Тогда из того, что , следует, что возрастает с , когда положительна, и убывает с , когда отрицательна.

Замкнутые кривые энергии соответствуют периодическим колебаниям , где период - время, необходимое для того, чтобы достичь прежних значений отклонения и скорости .Период можно вычислить при помощи линейного интеграла

,(2.10)

взятого вдоль замкнутых кривых энергии в положительном направлении .

Например, рассмотрим случай линейной функции , т. е. . Дифференциальное уравнение кривых энергии (m = 1)

.(2.11)

откуда

,(2.12)

где и - начальные значения при . Все кривые энергии для -эллипсы, и, следовательно, каждое движение периодично (рис. 2.1). Из предыдущего раздела известно, что это соответствует простому гармоническому движению с и

,(2.13)

где и . Это предполагает начальные условия (при ). Период колебаний согласно (2.10)

. (2.14)

Отметим, что в этом линейном случае период колебаний не зависит от амплитуды , так что обход любой замкнутой кривой энергии, представляющей решение на фазовой плоскости, совершается за одно и то же время. Если , кривые энергии превращаются в гиперболы и никаких периодических колебаний не существует.

Рис. 2.1 Фазовые портреты простого гармонического движения

В качестве второго примера рассмотрим маятник, поскольку его поведение аналогично поведению системы фазовой автоподстройки с идеальным интегратором: , работающей в отсутствие шума [см. (2.12)].

Рис. 2.2. Фазовые портреты математического маятника

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий (2.2) принимает вид

,(2.15)

а кривые энергии определяются равенствами

,(2.16)

где константа представляет полную энергию системы.

Кривые энергии иллюстрируются рис. 2.2. Мы видим, что необходимо потребовать , так как иначе будет всегда отрицательным. Когда , из (2.16) следует, что эти кривые - замкнутые и центрированные относительно точек , ( - любое целое число). В указанных случаях амплитуду находят из соотношения

,

а период колебаний определяется равенством

.(2.17)

Если ввести новую переменную интегрирования

и использовать связь между и , из (2.17) можно найти

.(2.18)

Отметим, что увеличивается вместе с амплитудой (следствие нелинейности; в линейной области период от не зависит) и определяется полным эллиптическим интегралом I рода.

Когда полная энергия , замечаем из (2.16), что скорость никогда не становится нулевой; кривые при этом разомкнуты (рис. 2.2). В верхней полуплоскости движение изображающей точки , происходит слева направо, а в нижней полуплоскости оно совершается справа налево. Граница перехода (проведена более жирной линией), т. е. переход от разомкнутых к замкнутым кривым, возникающая при , определяется из (2.16) соотношением . Иногда эту траекторию называют сепаратриссой.

Физическая интерпретация этих фактов вполне ясна. Маятник либо колеблется (фазовая ошибка меняется по гармоническому закону) вокруг его наинизшего положения ( ) и кривые энергии замкнуты, либо ему придана настолько высокая начальная скорость, что он вращается все время в одном и том же направлении (по часовой стрелке в верхней полуплоскости и против часовой - в нижней) относительно точки подвеса. В последнем случае угловое отклонение неограниченно увеличивается или уменьшается с ростом времени, а угловая скорость периодически изменяется относительно некоторой средней величины. Легко показать, что время, необходимое для того, чтобы с нулевой скоростью достичь наивысшей точки ( - нечетное), равно бесконечности.

Движение относительно точек при соответствует в схеме ФАП случаю, когда фазовая ошибка периодична. Вращение маятника вокруг точки подвеса при соответствует поведению системы ФАП вне области синхронизма, т. е. режиму проскальзывания циклов, режиму биений. Действительно, движение изображающей точки слева направо ( ) на фазовой плоскости соответствует случаю, когда фаза подстраиваемого генератора кольца ФАП отстает на многие периоды от фазы синхронизирующего сигнала. Соответственно движение справа налево учитывает опережение фазы управляемого генератора относительно входных колебаний. Аналогичное явление перескока фазы встречается при нарушениях функции сердца и при перегрузке синхронных машин.

Заметим, что положения равновесия колебательной системы соответствуют тому, что мы позже определим как особые точки фазовой плоскости , . Оказывается, расположение этих особых точек прекрасно характеризует общую картину кривых энергии.

В следующем разделе мы детально изучим природу различных особых точек (особенностей)для того, чтобы применить приобретенные познания к решению некоторых вопросов, обсуждаемых в курсовой работе.