.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы

Рассмотрим теперь движение, которое имеет место в присутствии внешней силы , зависящей только от времени. В этом параграфе рассматривается случай, когда - детерминированная функция;в последующих главах основное внимание будет уделено случаю недетерминированной , т. е. изучению случайных нелинейных колебаний. Для наших целей наиболее важным является случай периодической . Например, может быть синусоидальной:

,(1.11)

где - амплитуда; - круговая частота, а - константа, называемая фазой .В этом случае полное решение (1.2) состоит из решения однородного уравнения (т. е. только что обсужденных свободных колебаний) плюс какое-либо решение неоднородного уравнения. Полагая, что свободные колебания имеют вид (1.8 - а), легко получить, что решение (1.2) при , заданной соотношением (1.11), записывается в форме

.(1.12)

Другими словами, результирующее движение есть суперпозиция свободного колебания и движения, называемого вынужденным колебанием, обусловленным внешней силой . Заметим, что частота вынужденного колебания такая же, что и у внешней силы. Амплитуда вынужденного колебания [см. (1.12)] определяется соотношением

,(1.13)

а его фазовый сдвиг относительно равен

.(1.14)

Из (1.12) ясно, что при свободное колебание с ростом затухает и по прошествии достаточного времени остается только вынужденное колебание.

В случае, когда , квадратный корень в знаменателе (1.13) равен нулю только при совпадении частот , т. е. в случае резонанса. При относительный фазовый сдвиг , как это следует из (1.14), равен нулю при и при ; другими словами, вынужденное колебание синфазно с внешней силой, если собственная резонансная частота больше, чем частота внешней силы, и сдвинуто по фазе на 180°, когда . Для и (нерезонансный случай) из (1.12) получается решение

.(1.15)

Для (случай резонанса) решение (1.2) становится таким:

.(1.16)

Отметим, что движение, вызванное внешней силой, больше не является периодическим, но осциллирует с амплитудой , которая линейно растет со временем. И в электрических, и в механических системах, например во вращающихся механизмах или таких изделиях, как управляемые снаряды, часто жизненно необходимо спроектировать части машины так, чтобы избежать резонанса с возможными периодическими воздействиями на систему.

Когда имеется демпфирование , из (1.13) ясно, что амплитуда отклика всегда конечна. Тем не менеефизик обычно должен исследовать амплитуду вынужденного колебания, так как «струна может лопнуть», если слишком велико. Из (1.3) и (1.13) легко получить нормированный отклик

.

Рис. 1.1 Резонансные кривые вынужденных колебаний линейной системы.

Экстремальные значения достигаются при и . Если , максимум имеет место при ; если и , максимум достигается при , а минимум при . При малых значениях коэффициента демпфирования максимальная амплитуда достигается почти на собственной частоте. На рис. 1.1 показана частотная характеристика как функция при различных значениях . Очевидно, что эти кривые определяют амплитуду колебаний, или отклик системы на внешнюю силу любой заданной частоты.

В заключение этого раздела сформулируем принцип суперпозиции, который гласит: если под действием внешней силы линейная системаимеет отклик , а под воздействием - ,то под воздействием ее суммарный отклик равен . Этот фундаментальный факт является прямым следствием линейности дифференциального уравнения (1.1). Совершенно ясно, что этот принцип несправедлив для систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Теория линейных дифференциальных уравнений основательно изучена и развита, особенно для линейных систем с постоянными коэффициентами. С другой стороны, почти ничего не известно относительно общих принципов нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений (как однородных, так и неоднородных); следовательно, физик, сталкивающийся с нелинейной задачей, должен «сражаться» с ней один на один. Далеерассмотрим методы и технику решения некоторых типов задач теории нелинейных колебаний и приложим эти результаты к целому ряду нелинейных задач. Также продолжим рассмотрение случая детерминированных сил (сигналов), а случай недетерминированных воздействий (сигналов) пока отложим.