1. Свободные колебания в линейных системах

Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.

Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности , соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой ,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем

.(1.1)

Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление , пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением

.(1.2)

По аналогии имеем, что ; ; и , причем ток является аналогом смещения .

Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы

Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения

,(1.3)

приводим (1.2) к виду

.(1.4)

Поскольку , колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:

,(1.5)

где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения

.(1.6)

Таким образом, и заданы соотношениями

.(1.7)

Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина : а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид

,(1.8 - а)

,(1.8 - б)

,(1.8 - в)

где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока ) и скорости в некоторый начальный момент .

Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с . Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению

.(1.9)

Следовательно, если , то колебания затухают экспоненциально с течением времени .Однако если (что соответствует отрицательному демпфированию или отрицательному коэффициенту трения), колебания экспоненциально нарастают. Случаи, когда , наиболее распространены на практике.

Если , система не имеет демпфирования и движение часто называют незатухающими колебаниями. Для этого случая и

, (1.10)

что указывает на простое гармоническое движение с круговой частотой

.

Поскольку вещественно, колебания, определяемые (1.10), называются собственными колебаниями. Величина называется собственной или резонансной частотой.

Наконец, решение (1.8 - б) для соответствует переходу от колебательного к апериодическому движению; такое движение соответствует критическому демпфированию.