3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла

Нелинейные системы с колебаниями релаксационного типа были изучены методами, связанными с именем Хилла [10]. Отыскание решения для переходного процесса в синхронизируемой системе зависит от нашего умения решать дифференциальное уравнение, называемое уравнением Хилла [10]. Обсуждение общей теории уравнения Хилла, затрагивающей вопросы существования, единственности и ограниченности решений, выходит за рамки настоящей курсовой работы. Тем не менее, будет полезным ознакомление с видом этого уравнения.

Простая электрическая цепь, приводящая к уравнению Хилла, состоит из параллельного контура, включающего постоянную индуктивность и конденсатор, емкость которого, по предположению, периодически меняется со временем. Для заряда конденсатора имеем дифференциальное уравнение

.(3.38)

Легко привести многие другие примеры физических задач, связанных с уравнением Хилла; однако если некоторая функция периодична по , линейное уравнение

(3.39)

называется уравнением Хилла, только если и - константы. Если, например, в (3.39) , причем , и , то в результате получим специальный случай уравнения Хилла - уравнение Матье. В общем же случае для выявления функционального характера решений уравнения Хилла можно использовать теорию Флоке, относящуюся к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Эта теория, к сожалению, не решает вопроса об устойчивости, что обычно можно выполнить только с помощью детального изучения решений данного дифференциального уравнения.

Заключение

Нет такого раздела физики, в котором мы не встречались бы в той или иной степени с явлениями, в которых имеют место колебания. В оптике, акустике, механике, электричестве, в теории атома - всюду мы встречаемся с колебаниями. Колебательные процессы широко распространены в природе и находят применение во многих практических приложениях.

Как известно, существует много разных типов колебаний. Однако все колебательные процессы можно разделить на колебания, совершающиеся в линейных и в нелинейных системах. Названия их определяются видом дифференциальных уравнений, которые описывают колебательное движение материальной системы. Линейными системами называют такие системы, в которых основной закон колебаний выражается линейным дифференциальным уравнением. Очевидно, что нелинейные системы - такие, для которых основной закон выражается нелинейным дифференциальным уравнением.

На сегодняшний день наиболее изученными являются линейные системы. Это и не удивительно. Ведь если оглянуться назад, то можно заметить, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем. В то же время большой интерес представляют нелинейные системы. Ведь практически все процессы и явления, которые встречаются на практике, являются нелинейными по своей природе.

Исследование нелинейных колебаний значительно усложняется, т.к. нет общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Разница между процессами в линейных и нелинейных колебательных системах сводится к тому, что при анализе колебаний в линейных системах по частным процессам можно сделать вполне определенное заключение о всех возможных в данной системе процессах, а для процессов в нелинейных системах вообще этого сделать нельзя.

Но, если рассматривать малые колебания, такие, при которых координата и скорость изменяются на малую величину, то многие нелинейные уравнения станут линейными и исследование движения значительно упростится.

В данной дипломной работе мы рассмотрели более подробно приемы решения некоторых типов задач теории нелинейных колебаний. Рассмотрели методы изучения свободных колебаний нелинейных систем при помощи аппарата фазовой плоскости. Познакомились с природой различных особых точек (особенностей), применяемых при решении нелинейных задач. Затронули вопросы, связанные с теорией Ван дер Поля о синхронизации колебаний, рассмотрели уравнение Хилла.

Таким образом, мы рассмотрели классические, наиболее часто встречающиеся методы исследования нелинейных систем. В последнее время благодаря развитию вычислительной техники стало возможным решить, вообще говоря, любое уравнение с помощью численных методов. Однако простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, но не дает четкого представления о самой сути нелинейной системы.