.4 Колебания при большой расстройке

Когда расстройка велика, уравнение (3.23) переходит в следующее:

; ,(3.32)

так что

и ,

где - константа, а - постоянный фазовый сдвиг. В этом случае колебание (3.20) модулировано по амплитуде сигналами с частотой биений . Действительно, используя соотношение для синуса разности двух углов, находим из (3.20) и (3.32), что

.(3.33)

Отсюда следует, что когда расстройка велика, приложенный извне сигнал не оказывает заметного воздействия на колебание .

3.5 Комбинированные колебания постоянной амплитуды.

Мы убедились, что в двух крайних случаях большой и малой расстройки выходной сигнал генератора Ван дер Поля состоит из двух простых гармонических колебаний; одного с частотой , другого с частотой . Посмотрим теперь, что получится, если анализировать проблему с точки зрения линейной теории.

Рис. 3.8 Зависимость частоты биений от расстройки для двух различных типов генератора: a - линейная система; б - нелинейная система

Чтобы в системе могли существовать автоколебания, пришлось бы постулировать отсутствие затухания, т. е. положить . Кроме того, интуитивно ясно, что когда приложен внешний сигнал, он должен бы накладываться на выходное колебание, не оказывая влияния на существование колебаний, и может, по-видимому, привести к обычному линейному резонансу. Вблизи резонанса два колебания должны порождать биения, частоту которых путем приближения к можно было бы сделать сколь угодно низкой (рис. 3.8 - а).

Вернемся к количественному анализу нелинейных процессов в захваченном автогенераторе. Для количественного исследования сложных колебаний необходимо задаться решением, форма которого отлична от (3.20). Обобщая, будем считать, что основное колебание (напряжение на сетке) генератора имеет вид (по крайней мере для малых )

,(3.34)

где и - амплитуда и фаза колебания на частоте приложенного извне сигнала, а и - соответствующие величины для автоколебаний на резонансной частоте. Если подставить (3.34) в (3.21), то сравнительно несложно устранить время и приближенно получить

; ,(3.35)

Где

.(3.36)

Вводя нормированные амплитуды и автоколебаний на частоте внешнего воздействия получаем взамен (3.35)

, ,(3.37)

где .

На рис. 3.9 и 3.10 построены графики нормированных амплитуд в зависимости от нормированной расстройки при различных значениях .

Частотные характеристики и захваченного автогенератора делятся на две части. Когда воздействие велико, отклик на внешний сигнал очень похож на резонансную кривую линейного контура. Однако амплитуда собственных колебаний испытывает очень интересное изменение. Когда расстройка далека от резонанса, влияние внешнего сигнала на мало, однако при приближении к амплитуда падает до нуля и остается такой до тех пор, пока не удалится от с противоположной стороны. Таким образом, существует конечный интервал (полоса синхронизма) частот вблизи резонанса, где автогенератор захвачен так что он осциллирует в точности на частоте внешнего сигнала. В этой области биения полностью исчезают, как показано на рис. 3.8 - б который следует сравнить с рис. 3.8 - а, который относится к линейному случаю.

Другими словами, если частоты различных колебаний достаточно близки, они будут подтягиваться друг к другу, что приведет к фазовому синхронизму колебаний. Важный момент здесь состоит во взаимной связи частот, присутствующих во внешнем сигнале, с частотой генератора, который синхронизируется. Действительно, в энергетических системах, где ряд синхронных генераторов питает нагрузку через пару шин, отмечается то же самое явление: стягивание индивидуальных частот всей совокупности в единое, хорошо отрегулированное колебание.

Иначе ведут себя характеристики автогенератора, представленные на рис. 3.9 и 3.10, когда воздействие меньше и расстройка меньше . В этом случае характеристики становятся многозначными и существует более одного устойчивого состояния, часть из которых соответствует синхронному режиму, другие - нет.

Рис. 3.9 Амплитудно-частотные характеристики синхронизированного автогенератора

Рис. 3.10 Амплитудно-частотные характеристики автоколебаний на резонансной частоте

Имеют место явления гистерезиса и скачков. Такое поведение автогенератора совершенно отлично от всего, что предсказывает линейная теория. Предыдущий пример иллюстрирует основные принципы, которые позволяют осуществить синхронизацию в системах связи. Важно усвоить, что, если частоту автогенератора можно изменить, приложив внешний сигнал на другой частоте, механизм этого воздействия обязательно должен быть нелинейным. Линейный механизм воздействия на автогенератор с данной частотой может привести только к колебаниям той же частоты, в общем случае с некоторым изменением по фазе и амплитуде. Это не так для нелинейных генераторов, которые могут вырабатывать автоколебания, частота которых является суммами и разностями различного порядка собственной частоты автогенератора и частоты внешнего воздействия.

Вообще говоря, приложенный сигнал может сместить частоту нелинейного генератора, и в случае, который только что был рассмотрен, это смещение имеет характер подтягивания средней частоты к синхросигналу. По-видимому, наш мозг содержит ряд генераторов с частотой около 10 Гц, частоты которых, в пределах некоторых ограничений, могут быть подтянуты к некоторой другой в результате зрительного воздействия. При таких обстоятельствах эти частоты легко стягиваются (синхронизируются по фазе) в одну или более групп. Фазовая синхронизация колебаний наблюдается в биологических системах: у светлячков, сверчков и лягушек. Точное регулирование частоты, которое делает возможным использование электрических часов высокой точности, связано с фазовой синхронизацией или подтягиванием частот в системах, вырабатывающих электроэнергию. В терминах биологии можно сказать, что параллельное соединение генераторов имеет лучший гомеостаз, чем одиночный генератор, вследствие стягивания частот.

Одна из центральных проблем биологии состоит в том, чтобы понять способ, посредством которого основные вещества, образующие гены или вирусы или, возможно, специфические вещества, порождающие рак, воспроизводят себя из материалов, не обладающих подобной специфичностью: таких, как смесь амино- и нуклеиновых кислот. Согласно Винеру [3] вполне допустимо, что это явление можно рассматривать как своего рода сопряжение частот. Подтягивание и связывание частот наблюдаются также в атомной физике, когда дело касается молекулярных спектров. Планеты - это также осцилляторы с нелинейными характеристиками; их возмущения определяются нелинейным взаимодействием. То же явление наблюдается при изучении частиц высокой энергии с помощью циклотронов. Периодическое затягивание непосредственно наблюдалось в биологических ритмах, таких как движение плавников рыб (называемом относительной координацией), в почти синхронных ритмах, магнетронах, в генераторах с захватыванием и некоторых типах плазмы.