МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И АУДИТ»

Учебно-методическое пособие к практическим занятиям

по дисциплине «Эконометрика (продвинутый уровень)»

для подготовки магистров по направлению 080100 «Экономика»

Уфа 2013

Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических занятий по дисциплине «Эконометрика (продвинутый уровень)». Содержит контрольные вопросы и практические задания по разделам: модели математической экономики и эконометрическое моделирование, множественная регрессия и корреляция, многофакторная линейная модель, обобщенные схемы регрессионного анализа, нелинейная регрессия, эконометрические модели динамических рядов, моделирование одномерных временных рядов, изучение взаимосвязей по временным рядам, системы взаимозависимых эконометрических моделей.

Предназначается магистрам по направлению 080100 «Экономика» по программам «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Управленческий учет и контроллинг», «Корпоративный контроль и анализ», «Экономика предприятий и организаций (нефтяной и газовой промышленности)» дневной и заочной форм обучения, обучающимся в соответствии с ФГОС ВПО.

Составитель: Бутусов Е.В., ассистент кафедры «Бухгалтерский учет и аудит»

Рецензент: Халикова Э.А., к.э.н., старший преподаватель кафедры «Бухгалтерский учет и аудит»

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2013

Содержание

		С.
1	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Проверки гипотез о независимости и случайности исходных данных для эконометрического моделирования	4
2	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2 Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок МНК ……..……………………………………………..	9
3	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3 Показатели качества уравнения регрессии. Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии. Средняя ошибка аппроксимации. Коэффициент детерминации …..…..	13
	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4 Множественная регрессия. Спецификация модели. Отбор факторов при построении множественной регрессии. Мультиколлинеарность факторов. Выбор формы уравнения регрессии ……………………...……..………………..	20
	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5 Выявление тренда временного ряда. Модели кривых роста. Регрессионные модели ………………...………..	25
	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6 Автокорреляция. Тесты на автокорреляцию остатков. Оценивание при наличии автокорреляции остатков ………………………………………………………….…………	29
	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7 Модели с распределенным лагом. Оценивание в моделях полиномиальных (Алмона) и геометрических (Койка) лагов …………………………………………………………..…..	33
	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8 Структурные и предопределенные переменные. Структурная и приведенная формы модели. Макроэкономические модели I и II типа как иллюстрация системы взаимозависимых уравнений …..………………………………………….	37
	ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Методы оценивания. Метод инструментальных переменных. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов ………………….………….	42
	Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ ………………………………………………………………………..	47
	Приложение ………………………………………………………………..	48

Практическое занятие 1 Проверки гипотез о независимости и случайности исходных данных для эконометрического моделирования

Вопросы для изучения

1. Статистические выводы и проверка гипотез. Ошибки 1 и 2 рода.

2. Двух – и односторонние критерии проверки.

Контрольные вопросы

1. Что такое нулевая и альтернативная гипотезы?

2. Что такое статистический критерий, уровень значимости?

3. Какова цель проверки гипотез?

4. Приведите общую схему проверки гипотез.

5. Чем отличаются проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной случайной величины при известной и неизвестной дисперсиях?

6. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о величине дисперсии нормальной случайной величины?

7. Какая случайная величина применяется в качестве критерия проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин?

8. К проверке каких гипотез сводятся исследования среднего дохода населения и анализ разброса в уровне дохода?

Теоретические сведения

Пусть X и Y – две дискретные случайные величины, причем X принимает значения x₁, x₂, …, x_k с вероятностями p₁, p₂, …, p_k соответственно, а Y принимает значения y₁, y₂, …, y_l с вероятностями q₁, q₂, .., q_l соответственно (естественно , ).

Как известно из теории вероятностей, случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда справедливо следующее соотношение для любых i и j:

P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) * P(Y = y_j) = p_i * q_j, , .

Итак, пусть результатом эксперимента является двумерная выборка объема n – совокупность n пар (x_i, y_j). Если у случайной величины X k различных значений, а Y может принять l разных значений, то всего возможно k * l разных сочетаний вида (x_i, y_j). Обозначим частоту каждого сочетания через n_ij. Одновременно можно определить n_i как частоту значения x_i, а m_j – частоту значения y_j.

Очевидно, что , , .

Результаты эксперимента удобно представить в виде корреляционной таблицы размера l * k (таблица 1).

Нулевая гипотеза H₀ состоит в том, что случайные величины X и Y независимы, обратная H₁ – соответственно в том, что X и Y являются зависимыми случайными величинами.

Таблица 1.1 – Корреляционная таблица

	x1	x2	…	xk
y1	n11	n12	…	n1k	m1
y2	n21	n22	…	n2k	m2
…	…	…	…	…	…
yl	nl1	nl2	…	nlk	ml
	n1	n2	…	nk

Если H₀ верна, то вероятность появления каждой пары (x_i, y_j) равна произведению p_i * q_j, а математическое ожидание числа появлений пары в n независимых испытаниях равно произведению n * p_i * q_j.

Тогда случайную величину (при условии справедливости нулевой гипотезы, причем все математические ожидания n * p_i * q_j ≥ 4) можно считать распределенной по закону с числом степеней свободы v = (k – 1)(l – 1). Зная уровень значимости α и число степеней свободы v, можно найти критическое значение статистики и сравнить его с экспериментальным значением критерия , определенным по выборке. Если < , то гипотеза H₀ о независимости случайных величин не отвергается, иначе нулевая гипотеза отклоняется.

Необходимо сделать несколько замечаний.

1. Вероятности p_i, q_j обычно неизвестны. Поэтому они оцениваются по выборке:

, .

2. Если произведения n * p_i * q_j < 4, то соответствующие им строки и столбцы должны быть объединены с соседними строками и столбцами.

3. Если v = (k – 1)(l – 1) ≥ 8 и n ≥ 40, то минимально допустимое значение ожидаемых частот может быть равным единице.

4. Формулу, по которой вычисляется значение статистики , можно упростить. Если вероятности p_i, q_j оцениваются по выборке, тогда:

так как , .

Можно выделить тесты проверки независимости последовательности псевдослучайных чисел. В основе этих методов лежит представление полученных псевдослучайных чисел в качестве реализации дискретного стационарного случайного процесса х(t).

Для количественной оценки степени некоррелированности последовательности псевдослучайных чисел применяется способ, заключающийся в определении коэффициента корреляции ρ(ε_i,i) между элементом ε_i последовательности и его номером i:

_.

Если при заданном уровне значимости β:

_,

где ρ_max – верхняя граница доверительного интервала, а z_β определяется через функцию Лапласа:

2Ф(z_β) = β,

то считается, что имеет место корреляционная связь между псевдослучайными числами. В противном случае можно принять гипотезу об их независимости.

При проверке на случайность исходных данных можно использовать совокупность тестов, а именно тесты проверки:

- частот;

- пар;

- комбинаций;

- серий;

- корреляции.

Тест проверки частот предполагает разбиение диапазона распределения на несколько интервалов и подсчет количества (частот или вероятностей) попаданий случайных чисел в выделенные интервалы.

Тест проверки пар заключается в подсчете количества совпадений для каждого разряда всей совокупности случайных чисел.

Тест проверки комбинаций сводится к подсчету совпадений в случайных числах.

Тест проверки серий заключается в подсчете количества различных длин последовательностей одинаковых значений.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции между последовательностями случайных чисел.

Тест проверки серий предусматривает разбиение случайных цифр в исследуемой последовательности на элементы двух родов – первого и второго.

Серией называется любой отрезок последовательности цифр, состоящий из следующих друг за другом элементов одного и того же рода. Например, если в последовательности цифр и , то цифры образуют серию первого рода длины k, цифры образуют серию второго рода длины l и цифры также образуют серию первого рода длины s – k – l. Иногда для удобства элементы серий первого рода обозначают знаками "–" (минус), а второго рода – знаками "+" (плюс). В этом случае рассматриваемая последовательность будет иметь такой вид: (– –…–) = k минусов, (++…+) = l плюсов, (– –…–) = s – k – l минусов.

Подсчитаем количество z_l серий второго рода длины l в последовательности псевдослучайных цифр . Пусть l = 1, 2, ...., m и z'_m+1 – количество серий второго рода с l  m + 1 (они объединяются в одну группу). Обозначим общее количество серий через:

z = z₁ + z₂ + … + z_m + z'_m+1.

Величина с m степенями свободы вычисляется по формуле:

,

где .

Если, с заданным уровнем значимости , значение попадает в доверительный интервал ( , ), то тест проверки серий удовлетворяется.

В практике встречается также другая разновидность теста проверки серий, когда к элементам серий первого рода относят цифры, меньшие 0,5, а к элементам серий второго рода – не меньшие 0,5.

При достаточно большом объеме выборки (практически при N  20) и уровне значимости  = 0,95 нижний предел z^Н общего числа серий равен:

,

а нижний предел числа серий элементов первого и второго родов равен:

.

Максимальная длина серий не должна быть больше, чем:

.

Практические задания

Задача 1. Имеются данные о двух величинах X и Y:

X	52	33	69	64	47	32	38	28	78	55
Y	66,68	53,20	28,53	37,21	21,85	49,91	43,66	64,53	35,10	56,87

Проверить гипотезу о независимости переменных.

Задача 2. Имеется последовательный ряд переменной X:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	68,70	108,47	106,97	34,00	69,15	39,53	34,95	95,75	51,07	34,65

Проверить гипотезу о независимости последовательности данных величины X.

Задача 3. 1000 человек классифицировали по признаку дальтонизма. Есть ли зависимость между способностью различать цвета и полом человека? Принять α = 0,05.

Способность различать цвета	Мужчины	Женщины
Дальтоники	38	6
Не дальтоники	442	514

Задача 4. Результаты опроса общественного мнения с точки зрения поддержки четырех кандидатов избирателями южных и северных районов некоторой страны таковы:

Районы	Кандидаты				Всего
	1	2	3	4
Север	200	156	128	116	600
Юг	100	104	92	104	400
Всего	300	260	220	220	1 000

Имеется ли существенное различие в степени поддержки кандидатов избирателями каждого региона? Принять α = 0,05.

Задача 5. Универмаг решил проанализировать сроки погашения кредита для различных категорий своих клиентов. Выборка, включающая n = 1200 платежей, дала следующие результаты:

Время	Рабочие	Служащие	Предприниматели	Всего
До 30 суток	380	220	120	720
30-90 суток	220	200	60	480
Всего	600	420	180	1200

Есть ли существенная разница между отдельными категориями покупателей с точки зрения сроков погашения кредита? Принять α = 0,05.