Решение типового примера
1. Даны следующие параметры распределений:
Распределение |
|||||
Равномерное |
Пуассоновское |
Экспоненциальное |
Нормальное |
||
а |
b |
λ |
θ |
Мх |
x |
5 |
15 |
1,55 |
0,25 |
0,15 |
0,2 |
Для построения равномерного распределения воспользуемся Microsoft Excel.
1) Для равномерного распределения случайной величины в пределах (a,b) случайное число определяется с помощью функции СЛЧИС()*(b-a)+a, в нашем случае СЛЧИС()*10+5.
2) Для построения пуассоновского распределения случайной величины с λ воспользуемся Пакетом анализа «Анализ данных» в MS Excel. В открывшимся окне выбираем Генерация случайных чисел, Распределение: Пуассона, число переменных: 1, число случайных чисел: пусть будет 30, и Лямбда: 1,55. Также укажем выходной интервал.
3) Для экспоненциального распределения f(x) = λe-λx случайное число определяется с помощью функции -1/λ*ln(СЛЧИС()), в нашем случае -1/0,25*ln(СЛЧИС()).
4) Для построения нормального распределения снова воспользуемся «Анализом данных», только в открывшимся окне в качестве распределения выберем Нормальное. Среднее: Значение Мх. Стандартное отклонение x.
1.1. Математическое ожидание полученной случайной величины оцениваем как среднее значение случайных чисел: СРЗНАЧ(число1;число2;...).
1.2. Дисперсия полученной случайной величины рассчитывается с помощью функции ДИСП(число1;число2;...).
Результаты представлены на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – Моделирование случайных величин
1.3. Построим графики плотности распределений:
Рисунок 2.2 – Равномерное распределение с a = 5, b = 15.
Рисунок 2.3 – Распределение Пуассона с λ = 1,55.
Рисунок 2.4 – Экспоненциальное распределение с θ = 0,25.
Рисунок 2.5 – Нормальное распределение с Мх = 0,15, x = 0,2.
2. Даны следующие параметры распределения:
Таблица распределения |
||||
xi |
4 |
-10 |
12 |
-5 |
pi |
0,09 |
0,18 |
0,15 |
0,21 |
Находим частичные интервалы ∆1,..., ∆n. В нашем случае n =4. Данные заносим в таблицу (ячейки A4:C8)
В ячейки вносим формулы:
Ячейка |
Формула |
B5 |
0 |
B6 |
=C5 |
B7 |
=C6 |
B8 |
=С7 |
C5 |
=B2 |
C6 |
=B6+C2 |
C7 |
=B7+D2 |
C8 |
=B8+E2 |
Смоделируем значение случайной величины. Для этого сгенерируем случайные числа в ячейках F5:F24 (слчис()). Далее будем смотреть какому интервалу принадлежит полученное случайное число. В ячейку G5 вводим функцию ЕСЛИ(F5<$C$5;$B$1;ЕСЛИ(F5<$C$6;$C$1;ЕСЛИ(F5<$C$7;$D$1; $E$1))).
В остальные ячейки G6:G24 эту формулу копируем. Формула основывается на правиле: если случайное число принадлежит частичному интервалу ∆2, то разыгрываемая случайная величина примет значение x2 и т.д.
2.1. Найдем математическое ожидание этих чисел. Результат запишем в ячейку B10: =СРЗНАЧ(G5:G24).
2.2. Найдем среднее квадратическое отклонение чисел. Результат в ячейке B11 = СТАНДОТКЛОН(G5:G24).
2.3. Найдем е. Результат в ячейке B12: =ДОВЕРИТ(0.9;B11;20).
Далее найдем границы доверительного интервала:
левая граница (B13) =B10-B12;
правая граница (B14) =B10+B12.
2.4. Частотная таблица составляем как в лабораторной работе №1.
Результат будет выглядеть следующем образом (рисунок 2.6):
Рисунок 2.6 – Моделирование случайных величин
3. На рисунке задана плотность распределения:
Рисунок 2.7 – Плотность распределения
Найдем аналитическое описание функции на отрезке [0;2]. Возьмем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в форме:
y = ax + b,
и найдем значения коэффициентов a и b. Для этого подставим в это уравнения координаты двух базовых точек (х = 0, у = 0) (х = 2, у = 0,6). Получим два алгебраических уравнения:
0 = a0 + b,
0,6 = a2 + b.
Из этих уравнений находим a = 0,3, b = 0. Поэтому на отрезке [0;2] функция плотности распределения будет иметь вид:
p(x)
= 0,3x,
x
[0;2].
Аналогично находим функцию плотности распределения на отрезке [2;4]:
p(x) = 0,2, x [2;4].
Для создания генератора случайных чисел необходимо найти функцию распределения вероятности F(x). Для этого проинтегрируем полученные функции плотности распределения и проведем вычисления:
;
x
[0;2],
,
т.к. функция распределения должна
проходить через точку [4,1]; x
[2;4].
Рисунок 2.8 – Моделирование случайных величин
Для моделирования случайной величины сформируем ряд случайных чисел в ячейках A1:A25. В ячейке B1 введем следующую функцию: ЕСЛИ(A1<0,6;(A1/0,15)^0,5;(A1-0,2)/0,2). Скопируем данную ячейку в диапазон B2:B25 (рисунок 2.8).
3.1. Оценим математическое ожидание полученной непрерывной случайной величины (рисунок 2.8).
3.2. Оценим дисперсию полученной непрерывной случайной величины (рисунок 2.8).
3.3. Построим частотную таблицу (рисунок 2.8).
3.4. Вид соответствующей гистограммы представлен на рисунке 2.8. Очевидно, что если числа {xi} принадлежат псевдослучайной равномерно распределенной последовательности, то при достаточно больших значениях n экспериментальная гистограмма приблизится к теоретической прямой pj=1/k. Гипотеза о равномерности распределения чисел подтверждается.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
«Множественная регрессия. Спецификация модели. Частные уравнения регрессии. Множественная корреляция. Частная корреляция. Оценка надёжности результатов множественной регрессии и корреляции»
Деятельность восьми предприятий характеризуют следующие три параметра: X1 – уровень рентабельности, %; X2 – производительность труда, тыс. руб./чел.; X3 – количество занятых, тыс. чел.
Задание
1. Рассчитать матрицу:
парных коэффициентов корреляции факторов X1, X2, X3.
2. Рассчитать частные коэффициенты корреляции r12.3, r23.1, r13.2.
3. Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции R1.23.
4. Проверить значимость найденных парных, частных и множественного коэффициентов корреляции при = 0,05.
№ предприятия |
Уровень рентабельности, %, X1 |
Производительность труда, тыс. руб./чел., X2 |
Количество занятых, тыс. чел., X3 |
Вариант 1 |
|||
1 |
11,5 |
2235,1 |
120 |
2 |
38,3 |
1153,8 |
70,1 |
3 |
19,6 |
621,5 |
93,3 |
4 |
12 |
508,4 |
102,3 |
5 |
20,1 |
972,8 |
47,5 |
6 |
28,2 |
969 |
46 |
7 |
26,9 |
1344,6 |
32,1 |
8 |
18 |
1018,7 |
42,3 |
Вариант 2 |
|||
1 |
25,6 |
832,9 |
44,4 |
2 |
17,5 |
886,8 |
32,4 |
3 |
23,3 |
578,3 |
44,4 |
4 |
4,3 |
315,6 |
36,5 |
5 |
-8,5 |
382,4 |
27 |
6 |
16 |
306 |
26,8 |
7 |
7,2 |
211,4 |
30,7 |
8 |
2,9 |
277 |
24 |
№ предприятия |
Уровень рентабельности, %, X1 |
Производительность труда, тыс. руб./чел., X2 |
Количество занятых, тыс. чел., X3 |
Вариант 3 |
|||
1 |
27,3 |
1035,5 |
36,9 |
2 |
54,9 |
650,6 |
102,7 |
3 |
13,4 |
953,4 |
12,2 |
4 |
4 |
1126,6 |
8,9 |
5 |
5 |
760,7 |
11,9 |
6 |
18,1 |
479,3 |
12,1 |
7 |
13,4 |
738,8 |
7,2 |
8 |
6,3 |
537,8 |
6,3 |
Вариант 4 |
|||
1 |
32,2 |
128,9 |
21,7 |
2 |
12,2 |
135 |
21 |
3 |
20,7 |
256,9 |
11,5 |
4 |
1,6 |
671,8 |
5,5 |
5 |
26,4 |
182,6 |
20,4 |
6 |
9,1 |
119 |
31,9 |
7 |
5,6 |
213,3 |
19 |
8 |
10,3 |
458,8 |
10,3 |
Вариант 5 |
|||
1 |
4 |
930,1 |
5,2 |
2 |
7,5 |
2691,8 |
1,7 |
3 |
31,9 |
1599,1 |
2,8 |
4 |
-5 |
3627,3 |
0,9 |
5 |
7 |
527,3 |
6,3 |
6 |
3 |
764,3 |
4 |
7 |
3,7 |
1722 |
2 |
8 |
4 |
1427,5 |
2,2 |
Вариант 6 |
|||
1 |
19 |
673,1 |
4,2 |
2 |
6,5 |
247,9 |
11,2 |
3 |
16,2 |
344,1 |
8 |
4 |
20 |
514.3 |
6,9 |
5 |
1,1 |
155,3 |
21,0 |
6 |
3,5 |
300,3 |
14,6 |
7 |
22,5 |
878,4 |
5,1 |
8 |
40,7 |
293,7 |
15,5 |
Вариант 7 |
|||
1 |
18,6 |
512 |
9,9 |
2 |
32,6 |
924,1 |
5,1 |
3 |
18,2 |
1159,6 |
3,9 |
4 |
18,2 |
631,6 |
6,6 |
5 |
4,7 |
330,6 |
11,6 |
6 |
8,6 |
451,6 |
7,6 |
7 |
29,8 |
676,6 |
4,5 |
8 |
10,8 |
284,7 |
11,4 |
№ предприятия |
Уровень рентабельности, %, X1 |
Производительность труда, тыс. руб./чел., X2 |
Количество занятых, тыс. чел., X3 |
Вариант 8 |
|||
1 |
-2,3 |
472,9 |
5,8 |
2 |
2,3 |
343,1 |
9,7 |
3 |
2,0 |
483,7 |
7,6 |
4 |
2,2 |
194,2 |
26,5 |
5 |
5,3 |
320,9 |
15 |
6 |
3,7 |
278,9 |
17,8 |
7 |
5 |
760,7 |
11,9 |
8 |
4,5 |
221,9 |
109,5 |
Вариант 9 |
|||
1 |
32,8 |
721 |
18,7 |
2 |
39,3 |
3560,5 |
2,8 |
3 |
27,2 |
505,1 |
14,2 |
4 |
19 |
377,9 |
21,6 |
5 |
27,1 |
548,6 |
10,1 |
6 |
24,3 |
4428,2 |
1,1 |
7 |
24,4 |
2009,3 |
1,7 |
8 |
27,5 |
253 |
13 |
Вариант 10 |
|||
1 |
8,9 |
147,4 |
22,5 |
2 |
-7,7 |
163,1 |
24,5 |
3 |
3,1 |
298,1 |
25,8 |
4 |
12 |
1102,3 |
5,7 |
5 |
3,6 |
325,8 |
21,2 |
6 |
10,9 |
163,1 |
9,4 |
7 |
11,5 |
241,3 |
13,5 |
8 |
12,2 |
135 |
21 |