2.3. Средние величины.

Средняя величина (СВ) – это показатель, характеризующий типичный уровень явления и выражающий величину признака, отнесенную к элементу совокупности. Их делят на два класса:

•  структурные средние (мода и медиана);

•  степенные средние (средняя арифметическая, средняя геометрическая и др.).

 

2.3.1. Структурные средние.

Мода (Мо)– это наиболее часто встречающееся (т.е. с наибольшей частотой), значение признака у элементов совокупности. Если признак дискретная величина, мода равна значению, которое повторяется наиболее часто. Например, в группе из 11 студентов получены следующие баллы за тест: 5, 4, 3, 7, 9, 5, 6, 2, 5, 6. Мода равна пяти, т.к. число 5 встречалось наиболее часто. Другой пример. Имеются данные о размере обуви 11 девочек: 5, 3, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 2, 6, 2. Поскольку наибольшую частоту имеют два соседних размера обуви 3 и 4, то модальное значение будет равно .

Модальным интервалом называется интервал, которому соответствует наибольшая частота. Для интервального ряда с равными интервалами, мода определяется по формуле:

, (2.4)

где - начальная граница модального интервала;

– величина модального интервала;

- частота модального интервала, частота интервала, предшествующего модальному, и частота интервала, следующего за модальным, соответственно.

Пример 2.5. Определить моду ряда распределения роста группы девочек: Рост девочек, Х (см) Количество (частота) Накопленная частота 152≤Х<156 156≤Х<160 160≤Х<164 164≤Х<168 168≤Х<172 172≤Х<176 176≤Х<180 4 8 8 14 10 12 4 4 12 20 34 44 56 60 .

Медианой распределения называется такое значение величины признака, которое делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части; причем у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – выше этого значения. Медиана дискретного ряда распределения в случае нечетного числа членов соответствует му значению ряда, а в случае четного числа членов медиана равна среднему арифметическому го и го значений ряда распределения. В случае интервального ряда распределения сначала определяют медианный интервал, т.е. такой интервал, в котором сумма накопленных частот превышает половину общего числа наблюдений, а затем численное значение медианы определяется по формуле:

, (2.5)

где нижняя граница медианного интервала,

– величина медианного интервала,

накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

частота медианного интервала.

Пример 2.6. Найдем медиану ряда распределения роста девочек по данным таблицы из примера 2.5. Здесь медианный интервал 164 < < 168. Поэтому имеем: .