4.2. Оценка математического ожидания (средней величины).
Пусть распределение
значений количественного признака в
большой выборке (
)
известно и записано в табличной форме:
Значение,
|
Частота, |
…
|
…
|
Итого |
|
Выборочные среднее и дисперсия рассчитываются по формулам:
(4.1)
(4.2)
Величины
и
являются оценками параметров генеральной
совокупности: математического ожидания
и дисперсии
.
Оценка
является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону.
Величина
является центрированной (математическое
ожидание равно нулю) и нормированной
(дисперсия равна 1), поэтому для нахождения
квантилей распределения
можно использовать таблицы функции
распределения стандартного нормального
распределения.
Истинное значение параметра можно оценить при помощи доверительного интервала, который его включает
,
(4.3)
где
доверительная
вероятность (надежность оценки), а
уровень
значимости, то есть вероятность ошибки.
Величина предельной ошибки равна:
повторная выборка
(4.4)
бесповторная выборка
.
(4.5)
Если объем генеральной совокупности существенно больше объема выборки, либо неизвестен, то пользуются формулой (4.4).
Средние ошибки выборки находят по формулам
и
. (4.6)
Интервал может быть двусторонним, либо односторонним.
Пример 4.1. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.
Точечные оценки находим по формулам (4.1) и (4.2).
По таблице
нормального распределения находим
По формуле (4.4)
найдем
Следовательно,
Проводим те же
вычисления и находим:
Так как интервал
двусторонний, квантиль распределения
находим для
По формуле (4.4)
найдем
Вычисляем левую
и правую границы интервала:
Получили:
|
;
;
.
.
.
с вероятностью 0,95 .
с вероятностью 0,95 .
:
.
.
;
.
с вероятностью 0,95 .
Если объем выборки
небольшой
,
то методика расчета доверительных
интервалов немного изменяется. Для
сгруппированных данных выборочное
среднее определяем, как и ранее (4.1), а
дисперсию по формуле:
.
(4.7)
Для не сгруппированных данных используем формулы:
(4.8)
(4.9)
Величина
описывается стандартным
распределением
Стьюдента с
степенями свободы, поэтому для нахождения
квантилей распределения
используют таблицы
распределения
(Приложение 2).
Предельная ошибка для повторной выборки будет равна
.
(4.10)
Пример 4.2. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице. По формулам (4.1) и (4.7) получаем точечные оценки.
По таблице распределения для односторонней критической области и числа
степеней свободы
По формуле (4.10)
найдем
Следовательно,
Находим:
Для двусторонней
критической области, квантиль
распределения
По формуле (4.10)
найдем
Вычисляем левую
и правую границы интервала:
Получили:
|
;
;
.
находим
.
.
с вероятностью 0,95 .
с вероятностью 0,95 .
.
.
;
.
с вероятностью 0,95 .
Если задана
предельная ошибка и доверительная
вероятность, из формул (4.4) и (4.10) можно
найти необходимое количество измерений
(объем выборки). Например, из (4.4) при
заданных
находим:
(4.11)
Пример 4.3. В
условиях Примера 4.1 определить
необходимое число измерений, если
и
|
.
Из таблиц для двустороннего интервала
находим
.
По формуле (4.11) получаем
; то есть
.