3.2. Однофакторный дисперсионный анализ

В рамках изучения связи признаков часто возникает вопрос о том, какой из признаков влияющий (причина), а какой — зависи­мый (следствие). В статистике выработан ряд методов, позволяющих выделить факторы (влияющие переменные) и отклики (переменные под влиянием).

Существенную роль играет анализ разброса значений признака — их отклонений от среднего. В основе этого подхода лежит соображение о том, что, если фактор действительно оказы­вает влияние на отклик, то на разных уровнях фактора (т.е. при разных значениях влияющей переменной) будут наблюдаться раз­ные средние значения отклика. Ясно, что говорить о наличии влияния можно только в том случае, если разброс значений при­знака в группах меньше общего разброса значений.

Следовательно, степень влияния фактора на отклик может оцениваться как отношение разброса значений отклика между группами к разбросу значений во всех группах относительно гене­ральной средней (средней по всем группам).

Пусть исходная совокупность делится на J однородных групп по одному фактору (т.е. фактор с J уровнями), в каждой по элементов:

Номер испытания, i	Уровни фактора, j
	1	2	...	J
1 2			… … ...
Групповые средние			…

Сначала находятся J частных средних в каждой группе:

Далее, определяется общая средняя как средняя арифметическая этих частных средних:

Затем, вво­дятся три величины:

внутригрупповая сумма квадратов (sum of squares within group):

межгрупповая сумма квадратов (sum of squares between groups):

общая сумма квадратов (total sum of squares):

где J — число уровней фактора (групп);

— объем j-ой группы;

— внутригрупповая средняя;

— общая средняя для всей совокупности.

Несложно доказать, что

SS_t= SS_w + SS_b.

Однофакторный дис­персионный анализ — метод, позволяющий на основании провер­ки гипотезы о равенстве средних делать выводы о направленном влиянии (одного) фактора на зависимый признак.

Модель однофакторного дисперсионного анализа выражает предположение о том, из чего значение зависимого признака (Y), и записывается следующим образом:

где μ— некий средний уровень по всей изучаемой совокупности, на фоне которого изучается действие фактора (X) на зависимый признак (Y); — вклад в формирование значения зависимого признака j-го уровня фактора (X) (модель); — случайная добавка, (ошибка модели). Данная запись действительна для генеральной совокупности, на выборочной совокупности генеральные парамет­ры заменяются выборочными оценками. Подставив выборочные оценки в уравнение, получим:

Все три элемента модели можно расценить как вклады в вариацию признака Y, как источники такой вариации.

Нулевой статистической гипотезой дисперсионного анализа является равенство средних значений зависимого признака при разных уровнях фактора:

Заметим, что альтернативная гипотеза здесь формулируется достаточно неопреде­ленно — : не все средние равны.

Каждой сумме квадратов отвечает свое число степеней свободы:

где J –количество уровней фактора; n – количество измерений при каждом уровне фактора.

Заметим, что

Введем обозначения

MS_b, MS_w, MS_t — средние квадраты: межгрупповой, внутригрупповой и общий (mean square between/within/total).

Искомая ста­тистика (критерий Фишера) имеет вид

Чем больше влияние факторного (группировочного) признака на результативный, тем больше значение F.

Расчетное значение F сравнивается с критическим , определяемым по таблице в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости . Если , то факторный признак оказывает влияние на исследуемый признак. Если , то только с вероятностью не выше чем случайные значения величины будут превышать расчетное значение. Следовательно, с малой вероятностью факторный признак будет оказывать влияние на результативный признак и это влияние можно не учитывать.

Соотношение межгруппового и общего средних квадратов называется коэффициентом детерминации и показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:

Пример 3.2. Банк имеет по четыре отделения в трех городах. Текущие объемы денежных вкладов (в условных единицах) представлены в таблице: Отделение Город 1 2 3 1 38 20 21 2 36 24 22 3 35 26 31 4 31 30 34  Можно ли утверждать на уровне значимости , что в среднем дела идут одинаково хорошо во всех трех городах? Вычисляем групповые средние и общее среднее . Межгрупповая (факторная) сумма квадратов (3.9): Внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов (3.8): Общая сумма квадратов: SSt= SSw + SSb =204+224=428. Степени свободы равны: Статистика (критерий) Фишера: Для . Следовательно, и различия значимы. Полученный коэффициент детерминации (3.22): показывает, что дисперсия зависит от места расположения отделений на 52,3%; остальные же 47,7 % объясняются множеством других неучтенных факторов.