14. Модели и математическое моделирование в экономических исследованиях: обзор необозримого

Новые знания в научных исследованиях можно получать и в процессе экспериментов. В естественных и технических науках эксперимент иногда является основным средством производства новых знаний. В экономических же проведение эксперимента не всегда возможно и оправдано, поскольку может оказаться очень дорогим. Для решения этих задач в экономических исследованиях лучше применять математическое (и не только математическое) моделирование.

В общем и целом, под моделью принято понимать упрощение некоей реальной целостности (объекта, системы, процесса, идеи) путем представления ее в другой, более удобной для восприятия, анализа и экспериментов (исследований) форме. Так, в частности, схема организационной структуры предприятия представляет его модель, на которой, проектируя, например, более эффективную систему управления, можно изображать новые подразделения, прослеживать направления материальных и информационных связей между ними и т.п. Согласитесь, уважаемый читатель, что на модельной схеме производить подобные эксперименты гораздо проще и нагляднее, чем на реальном объекте (т.е. прямо на самом предприятии). Возможность проведения экспериментов на моделях (по-другому, модельных исследований) и составляет их основное достоинство. В исследовании экономических систем, при получении новых знаний о них, всегда возможны ошибки. И очевидно, что лучше совершать эти ошибки, экспериментируя на моделях, чем на реальных объектах. Так будет намного дешевле.

В теории и практике моделирования выделяют несколько классов моделей: физические, аналоговые, математические, имитационные. В литературе можно встретить и другие классификации. Они отличаются от выше приведенной либо названиями классов, либо более подробным подразделением на них, либо тем и другим вместе.

Физическая модель представляет собой выполненный в масштабе материальный объект моделируемой целостности. Это может быть, к примеру, уменьшенная модель самолета, предназначенная для изучения его аэродинамических свойств. Так называемых фотомоделей, очевидно, тоже можно (как это ни странно звучит) отнести к данному классу, поскольку они представляют собой физическое воплощение общепринятых, или разделяемых группой экспертов, представлений об одежде, красоте, манерах и т.п. Физические модели являются точными копиями моделируемых объектов и ведут себя похожим образом. Но поскольку они меньше и проще самих объектов, то эксперименты по установлению их свойств обходятся намного дешевле. Так, например, очевидно, что установление пределов аэродинамического давления путем регулируемого изменения нагрузки на модель самолета до ее разрушения будет неизмеримо меньше, чем проведение таких испытаний на готовом самолете. Равно как и апробация новых образцов одежды на фотомоделях также будет дешевле (хотя само по себе это мероприятие вряд ли можно назвать дешевым), чем запуск этих образцов в производство, без апробирования на моделях, с надеждой, что они будут пользоваться спросом на рынке. (Если спрос на них будет, то фирма ничего не потеряет, а если – нет, потери, безусловно, превысят затраты на апробацию этих образцов на моделях).

Аналоговая модель представляет реальный объект неточной его копией, как это имеет место при физическом моделировании, а совершенно другим объектом, который выглядит по-иному, но вместе с тем ведет себя так или очень похоже, как моделируемая целостность. Если физические модели в управлении предприятиями используют не очень часто, то аналоговые в этой сфере человеческой деятельности находят более широкое применение. К их числу относится любой график производственно-хозяйственной деятельности. Так, в частности, график безубыточности показывает, при каком объеме производства того или иного продукта предприятие преодолеет барьер превышения издержек над выручкой. Схема организационной структуры также представляет собой аналог системы управления на предприятии. Известный венгерский экономист Янош Корнаи в книге «Дефицит» уподобил национальную экономику сообщающимся сосудам, в которых переливающаяся жидкость служит аналогом переливания капиталов из отрасли в отрасль. Можно привести массу и других примеров применения аналоговых моделей в управлении.

Математические модели представляют собой чрезвычайно большой и структурно разветвленный класс моделей. При этом диапазон структурной разветвленности очень широк. Неполный перечень видов и разновидностей экономико-математических моделей, характеризующий этот диапазон, представлен на страницах данной книги. Кроме того, математические модели отличаются друг от друга и своей сложностью. И здесь диапазон различий также является очень широким. Так, в частности, математическая модель может быть представлена в виде одной формулы. Например, формула расчета точки безубыточности является математической моделью, в то время как график безубыточности, о котором говорилось чуть выше, аналоговой моделью того же самого состояния предприятия, оцениваемого по параметрам издержек и выручки. В этом случае график как модель визуально показывает зоны убыточности и прибыльности, определяемые объемами производства. Формула же как модель позволяет при заданных величинах постоянных затрат, а также переменных, приходящихся на единицу продукции, и цены вычислять тот объем производства, при котором выручка сравнивается с издержками. Другими словами, у каждой модели свои преимущества. Математическая модель – другая крайность – может быть представлена и в форме взаимосвязанных уравнений, неравенств, выраженных в математической форме условий, с огромным числом переменных. Наиболее простыми из них являются модели линейного программирования, в которых уравнение представляет собой целевую функцию, выражающую, например, максимизацию прибыли, а неравенства – ограничения на имеющиеся ресурсы. Аналогичную форму и структуру имеют родственные линейному программированию модели дискретной оптимизации, нелинейного программирования и др. Иногда математические модели могут включать в себя элементы аналоговых моделей. К их числу, например, можно отнести модели сетевого планирования, в которых математические зависимости дополняются сетевыми графиками. В отечественной высшей школе применение математических моделей подробно изучается в курсах экономико-математического моделирования, по которым издано большое число учебной литературы (см., например, [11, 17, 23]).

Несмотря на то, что класс математических моделей, которые используются в экономических исследованиях, чрезвычайно широк и невозможно в одном пособии сделать полный обзор всему многообразию их видов и разновидностей (можно сказать, классов экономико-математических моделей), тем не менее, есть смысл коротко остановиться на наиболее известных из них, хорошо проявивших себя в организации эффективных экономических исследований. Соискатель, производящий научный поиск, хотя бы в общих чертах должен знать о них, с тем, чтобы, обратившись к специальной литературе и изучив ее досконально, мог применить те или иные методы математического моделирования в своих прикладных исследованиях. Обзор действительно будет очень кратким, без формул, уравнений, неравенств и т.п. Однако для предварительного знакомства с этим классом методов научного поиска его будет более чем достаточно. Подробное же изучение каждого класса математических моделей следует изучать по специальной литературе.

Очень широкое (возможно, самое широкое) распространение в экономических исследований получили модели линейного программирования. Они применяются для определения оптимального способа распределения ограниченных ресурсов при наличии альтернативных направлений их использования. Ясно, что различные наборы ресурсов (сырья, материалов, труда, рабочего времени работников и т.п.) можно использовать для производства различных продуктов. Расчеты на моделях линейного программирования показывают, в каких объемах должно осуществляться производство каждого из этих продуктов, чтобы расход имеющихся ресурсов был экономичным и эффективным, а результат - оптимальным. При этом линейная модель производит и весьма специфическую информацию, называемую двойственными оценками, которые показывают, на сколько может измениться общий результат деятельности (критерий оптимальности) при увеличении или уменьшении расхода того или иного ресурса на единицу. Таким образом, двойственные оценки, по сути, количественно показывают степень дефицитности имеющихся ресурсов, что при корректном использовании модели может стать точным инструментом балансирования на предприятии затрат и результатов.

Есть множество вариаций постановки задач линейного программирования: с ориентацией на максимизацию прибыли, минимизацию расходов, составление оптимальных смесей (задача о диете), минимизацию расходов по доставке грузов (транспортная задача) и др. Для задач, в которых используется дискретная информация, разработаны модели целочисленного программирования, для задач, в которых важной составляющей является время – модели динамического программирования и др.

Расчеты на моделях линейного программирования носят итерационный (пошаговый) характер, поэтому решение их «вручную» возможно только на задачах небольшой размерности. Но и при этом они настолько трудоемки и утомительны, что в «ручной» практике почти не применяются. Но поскольку в настоящее время есть компьютерные программы, реализующие расчеты на моделях линейного программирования, то и необходимости в расчетах на бумаге «вручную» нет никакой.

Наряду с моделями линейного программирования в практике управления весьма широко применяются и модели управления запасами. Само название этого класса моделей говорит об их назначении. Очевидно, что любая организация должна поддерживать соответствующий ее производственным потребностям уровень запасов. Для производственной фирмы требуются определенные поставки сырья, материалов, полуфабрикатов, а также определенный задел незавершенного производства и запас готовой продукции, для предприятий общественного питания – продуктов и напитков в ассортименте, для больниц – лекарств и т.п. Очевидно также и то, что поддержание запасов на необходимом уровне требует определенных затрат, которые подразделяются на три вида:

• на размещение заказов и доставку;

• на хранение;

• на потери, обусловленные несоответствующим (большим или малым) уровнем запасов.

Модели управления запасами позволяют так согласовать эти и другие переменные, что затраты на поддержание необходимых запасов будут сведены к минимуму.

Предприятиям, предлагающим населению различного рода услуги, хорошо могут помочь модели теории очередей. Суть этого класса моделей сводится к уравновешению расходов на содержание фирмой дополнительных каналов обслуживания и потерь от обслуживания меньшего числа каналов. Под каналом обслуживания в разных фирмах могут пониматься совершенно разные объекты. Так, в частности, в парикмахерской это кресла (и, естественно, парикмахеры), в банке – кассиры, в ремонтной мастерской – рабочие места мастеров и т.п. Определение оптимального числа каналов обслуживания для фирм, продающих услуги, является чрезвычайно важной задачей. Увеличение, например, числа кассиров в банке (ввод дополнительных каналов обслуживания) сверх оптимального, приведет к повышению затрат, обусловленных их содержанием. Сокращение кассиров (экономия на их заработной плате и содержании рабочих мест) может привести к увеличению очередей и потере клиентов, которые предпочтут покупать услуги в другом банке, где очередей нет. Где находится та «золотая середина», уравновешивающая эти две противоположности, и показывают модели теории очередей.

В условиях рынка не последним фактором внешней среды является конкуренция. Обеспечение конкурентоспособности продукции практически всегда приводит фирму к успеху, поэтому к ее повышению стремятся все организации. При осуществлении мер повышения конкурентоспособности прогноз возможных действий конкурентов, в ответ на свои действия, всегда оборачивается для фирмы большим преимуществом. Оценку воздействия того или иного решения на конкурентов позволяют получить модели теории игр. Этот класс моделей может предсказать возможную реакцию конкурентов на изменение цен, новую маркетинговую стратегию, если ее можно выразить количественно и т.п. Модели теории игр применяются в экономических исследованиях значительно реже описанных выше. Причина, очевидно, кроется в том, что их «предсказания» сбываются не так часто и они менее точны, чем «предсказания» других моделей, ибо в них, в отличие, например, от моделей управления запасами, в неизмеримо большей степени задействован человеческий фактор. А он, как известно, всегда вносит некую (иногда и весьма существенную) «сумятицу» в строгую логику математических зависимостей. Но все-таки, уважаемый читатель, согласитесь, что очень хочется иногда предугадать (вычислить, а почему бы и нет?) возможные действия конкурентов в ответ на те или иные собственные шаги. Поэтому для настоящих исследователей модели теории игр никогда не утратят своей привлекательности.

Не все параметры исследуемых экономических систем могут быть уложены в строгие математические зависимости, что, безусловно, усложняет процесс математического моделирования. Кроме того, иногда большое число переменных создает непреодолимые трудности для математического анализа зависимостей между ними. Высокий уровень неопределенности внешней среды также отнюдь не способствует получению высокоточной информации в процессах модельных исследований. Да и человеческий фактор, о котором уже неоднократно упоминалось выше и который неизбежно присутствует в деятельности любой организации, существенно затрудняет реализацию математических моделей в управлении предприятиями. Для преодоления всех этих трудностей и применяются так называемые имитационные модели. В общем и целом, имитационное моделирование представляет собой дополнение тех или иных математических моделей, в традиционном их понимании, различными алгоритмами и компьютерными программами, имитирующими реальные процессы. В качестве таких дополнений иногда выступают и люди, являющиеся экспертами в области моделируемых процессов. Они анализируют полученную в результате модельных исследований информацию, обсуждают результаты индивидуального анализа каждого из экспертов и выносят общее заключение, которое учитывается на следующем шаге (итерации) эксперимента. Такие имитационные модели (с включением экспертов) довольно часто называют деловыми играми. Иногда совокупность математических моделей и тех или иных имитационных блоков, действующих совместно, называют имитационными системами. Если основную часть такой системы составляет программное обеспечение, ее называют модельным компьютерным стендом (или просто модельным стендом). Работа таких стендов происходит в режиме «если, то», т.е. в модель вводятся заранее определенные данные, производятся расчеты, а затем анализируются полученные результаты. На основе последних делаются корректировки вводимых данных, после чего приступают к следующему шагу (итерации) модельных исследований. И так до тех пор, пока результаты не будут удовлетворять исследователей. Такие имитационные системы позволяют определять приемлемые структуру и величины входов с тем, чтобы результаты выходов (продуктов и т.п.) реальных процессов отвечали требованиям проводимого исследования (целям, стратегиям, установкам). Поскольку в имитационных моделях (системах) описываются процессы, все они являются динамическими. На создание такой системы на исследуемом предприятии может уйти много времени и средств. Но зато она может работать в течение длительного времени, ее можно изменять, приспосабливать к меняющимся условиям внешней среды. Другими словами, имитационные модели (системы) являются адаптивными, а следовательно, они (при условии определенной корректировки) могут применяться в течение длительного времени и первоначальные затраты, понесенные на их создание, будут оправданы.

Большой класс представляют модели статистической теории решений. Это, в свою очередь, тоже труднообозримая сфера применения математических методов в экономических исследованиях. Одной из наиболее простых и наглядных моделей этого класса является так называемая платежная матрица, помогающая менеджеру при принятии решения осуществить выбор приемлемой альтернативы из нескольких имеющихся. Под платежом в данном случае понимается денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием вполне конкретной стратеги поведения менеджера (или менеджмента фирмы) в определенных условиях внешней среды, не зависящих от воли и сознания исследователя. Представленные в форме двумерной таблицы платежи по разным вариантам (наименования строк таблицы) и условиям осуществления (или неосуществления) этих вариантов (наименования колонок таблицы) образуют платежную матрицу, работа над которой и позволит исследователю выбрать приемлемый вариант решения.

Как», по крылатому выражению Козьмы Пруткова, «нельзя объять необъятное», так нельзя и обозреть необозримое. Поэтому в данном параграфе представлены только основные классы математических моделей, которые неплохо зарекомендовали себя в экономических исследованиях. Теперь, если в сфере поисковой исследовательской деятельности читатели испытывают определенный недостаток в информации, есть возможность сориентироваться в ситуации, выбрать необходимый класс моделей по пособию, изучить его по специальной литературе с тем, чтобы, разработав и отладив необходимые модели, получить новые знания, являющиеся результатом исследований (экспериментов) на моделях.

Исследователю-экономисту также весьма полезно знать о порядке и процедурах разработки математических моделей. Это тем более важно, что на начальных этапах разработки моделей он должен принимать непосредственное участие в формулировании их общей идеологии. В общем и целом, процесс разработки модели состоит из следующих пяти этапов:

• постановка задачи;

• построение модели;

• проверка модели на достоверность;

• применение модели;

• обновление модели.

Постановка задачи является не только первым, но, пожалуй, и самым ответственным этапом в экономико-математическом моделировании. Точное и корректное использование математики и компьютерных технологий не принесет никакой пользы, если сама проблема не будет точно определена (сформулирована). При диагностике проблемы, с тем, чтобы отличить симптомы от причин, должен быть применен научный подход, состоящий в свою очередь из трех фаз: наблюдения, формирования гипотезы и верификации. Наблюдение в этом случае представляет собой сбор необходимой информации, которая и позволит «отделить зерна от плевел» (причины от симптомов). На основе собранной информации выявляются возможные альтернативы действий и последствия каждой из них для сложившейся ситуации. Сравнение последствий реализации альтернатив позволяет сделать выбор в пользу одной из них, что кладется в основу гипотезы в модельных экспериментах. На фазе верификации осуществляется проверка выдвинутой гипотезы, производятся первые предварительные оценки выбранной альтернативы. На этапе постановки задачи, по сути дела, надо сделать выбор класса модели (линейного программирования, имитационной модели и др.) и определить ее параметры. В решении проблем постановки задачи исследователь должен быть предельно внимательным и осторожным, ибо как будет поставлена задача, такими будут и результаты модельных исследований. Что толку в верной с точки зрения математики модели, если проблема исследования не была изначально точно диагностирована. И кому как не исследователю-экономисту решать, какой именно должна быть модель, чтобы она ему предоставляла не просто верную, но, самое главное, полезную информацию. О важности точного определения проблемы сказано уже очень много (см. отступление 1.30).

Отступление 1.30. Важность определения проблем и постановки задачи при построении математических моделей

Один из древних философов сказал, что правильно определить проблему, значит наполовину решить ее. Другой, уже современный мыслитель, по этому же поводу совершенно справедливо заметил, что лучше не до конца решить правильно определенную проблему, чем до конца не правильно определенную. Альберт Эйнштейн, в связи с этим же, остроумно заметил, что правильная постановка задачи важнее даже, чем ее решение. Для нахождения приемлемого или оптимального решения задачи нужно знать, в чем она состоит. Как ни просто и прозрачно данное утверждение, чересчур многие специалисты в науке управления игнорируют очевидное, что и приводит их к весьма значительным потерям. Миллионы долларов расходуются ежегодно на поиск элегантных и глубокомысленных ответов на неверно поставленные вопросы.

Не застрахованы от таких ошибок и соискатели различных ученых степеней. Они – эти ошибки – проявляются не только при постановке задач в процессах построения различного рода моделей для проведения модельных экспериментов. Они часто возникают и при формулировании тем диссертационных работ, а также их целей, задач, гипотез и т.п. Поэтому, проводя научное исследование в рамках выполнения диссертационной работы, в том числе и многочисленных испытаний на моделях, соискатель должен, по возможности, сверять получаемые результаты с теми, которые могут быть на практике, советоваться со своим научным руководителем, с экспертами.

Источник: Мескон М.Х. и др. Основы менеджмента. М.: Дело, 1992. С. 226.

На этапе построения модели формулируются ее основные цели, объем и точность входной информации. Исследователи-экономисты придают ей соответствующую форму, т.е. строят математические зависимости, отражающие существо проблемы, проверяют связь между ними и т.п. После построения модели ее проверяют на достоверность, на соответствие параметров реальной действительности. Наиболее надежным способом проверки модели является апробация ее на ситуациях из прошлого. В модель вводятся данные, имевшие место в прошлом, производятся расчеты, результаты которых сравниваются с имевшими место в действительности. Если отклонения велики, выясняются их причины, а затем производится корректировка модели. И так до тех пор, пока отклонения не станут приемлемыми.

Безусловно, применение математического моделирования в экономических исследованиях требует специальных и глубоких знаний в области экономики, математики, компьютерных технологий. Овладение ими и профессиональное применение, как показывает практика (отечественная и зарубежная), способно повысить эффективность и результативность производства новых знаний. Непрофессиональное же применение математики, или чрезмерное увлечение ею при игнорировании содержательных аспектов изучаемого явления, приводит к ошибкам. Об этом хорошо и убедительно написал в своей книге [32] доктор экономических наук, профессор МГУ Анатолий Александрович Пороховский (см. отступление 1.31).

Отступление 1.31. Проблемы и последствия непрофессионального применения математики в экономике

«…Использование элементарной математики всегда присутствовало в экономическом анализе. Однако с середины ХХ в. и в особенности в связи с широким внедрением ЭВМ и математического моделирования без высшей математики в экономической теории оказалось не обойтись. В самой экономике настолько усложнились взаимосвязи, что широкое внедрение математического аппарата в экономические исследования объективно стало необходимо. Это привело в ряде случаев к абсолютизации математических методов, чрезмерной формализации анализа и вытеснению системного подхода.

Дело в том, что элементы математического метода представляют собой как раз те абстракции, которые сами по себе никакого отношения к предмету экономического исследования не имеют. Происходит как бы наложение математического «шаблона» на какую-то часть экономических взаимосвязей, а все многообразие связанных с этим отношений игнорируется. Известно, что в реальной жизни все процессы многофакторны. А любая математическая формула, модель, функция «работают» при заранее оговоренных ограничениях. И если этого не понимать, то вместо помощи благодаря математике можно получить, во-первых, искаженную картину экономических процессов и, во-вторых, подготовить специалистов, умеющих оперировать математическим аппаратом без должного понимания сути экономических явлений.

Так вместе с позитивом математика привнесла в экономический анализ угрозу сугубо абстрактного восприятия реальных процессов. А ведь наступивший XXI в. добавляет все больше многообразия в хозяйственную жизнь и тут без системного, аналитического подхода никак не обойтись. Одни и те же математические методы могут служить разным наукам. Важно, чтобы математический инструментарий экономического исследования был важной, но не единственной составляющей системного анализа постоянно изменяющейся экономики. Достоинства математики не должны превращаться в свою противоположность в руках экономистов. В равной мере это относится как к экономической теории вообще, так и к отраслевым экономическим наукам».

Источник: Пороховский А.А. Вектор экономического развития. – М.: ТЕИС, 2002. С. 26 – 27.

Об этом же самом говорит и доктор экономических наук, профессор Солтан Сафарбиевич Дзарасов [13], когда сопоставляет насыщенную математикой современную экономикс, родоначальником которой является А. Маршалл, с классической политической экономией (см. отступление 1.32).

Отступление 1.32. Политическая экономия и экономикс

«…Вместо анализа экономических отношений между людьми Маршалл выдвинул в центр внимания науки функциональные зависимости технико-экономического характера, которые имеют значение, но которые до конца не объяснимы вне своей социальной сущности. Поэтому к маршаллианской режиссуре и выходящим с тех пор экономикс больше всего применимы слова Шумпетера, что они равноценны таким постановкам «Гамлета», в которых нет самого Принца Датского. В них отсутствует то главное, для изучения чего была создана политическая экономия, – анализ экономических отношений по поводу производства и распределения общественного продукта. И это потому, что с изменением названия свет прожектора экономикс охватывает не всю изучаемую площадь, не весь комплекс отношений между людьми, а только ту ее часть, где мы можем видеть всего лишь безличные вещественно-функциональные связи.

Источник: Дзарасов С.С., Меньшиков С.М., Попов Г.Х. Судьба политической экономии и ее советского классика. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. С. 208.

Таким образом, С.С. Дзарасов, понимающий под «функциональными зависимостями технико-экономического характера» и «безличными вещественно-функциональными связями» чрезмерное увлечение математикой в экономических исследованиях, причем в ущерб анализу экономических отношений, также как и А.А. Порховский, обеспокоен возможным искажением содержания и сути базовых экономических категорий, без которых экономики просто нет и быть не может. И их обеспокоенность вполне понятна и оправдана. Так что применение математических методов в экономических исследованиях предполагает хорошее знание не только математики, как это может показаться с первого взгляда, но и, прежде всего (!), отличное знание экономики.

Одним из специфических направлений в области математического моделирования в сфере экономики является получение прогнозной информации, о чем речь идет в параграфе 1.15 данной главы.

Бутакова М.М.