Лекция №1. Системы счисления

1.1. Позиционные системы счисления

В десятичной системе счисления (с/с) используются десять арабских цифр от 0 до 9. Располагая цифры в разных позициях, мы получаем различные числа. Такая с/с называется позиционной, в ней величина числа определяется положением и значением каждой его цифры. Другим примером позиционной с/с может служить римская с/с. Наряду с позиционными существуют и непозиционные системы счисления.

Любое число N в позиционной с/с можно представить в виде:

N = (b_m b_m-1… b₂ b₁ b₀, b_-1 b_-2 … b_-k)_A, (1)

где b – цифра из алфавита с/с;

, – разделитель целой и дробной части числа;

А – основание системы счисления (для десятичной с/с А = 10);

m … k – весовые коэффициенты.

Например, десятичное число в соответствии с (1) имеет следующие весовые коэффициенты:

205,74₁₀  2² 0¹ 5⁰ , 7^-1 4^-2.

Используя те же обозначения, число N можно представить в виде суммы элементов ряда:

N=b_m A^m + b_m-1 A^m-1 +…+ b₁ A¹ + b₀ A⁰ + b_-1 A^-1 +…+ b_-k A^-k. (2)

Пример:

205,74₁₀  2²0¹5⁰,7^-14^-2 210² + 010¹ + 510⁰ + 710^-1 + 410^-2

Выражение (2) является универсальным для любой позиционной с/с.

Несмотря на то, что десятичная с/с является для нас наиболее привычной и удобной в использовании, реализация на её основе вычислительной техники – не рационально. Поэтому основной с/с для внутреннего хранения и обработки данных в компьютере являются двоичная и производные от неё восьмеричная и шестнадцатеричная с/с.

1.1.1. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления (2 с/с) используется две цифры 0 и 1, основание с/с А=2. Например, двоичное число 101101₂ соответствует десятичному числу 45₁₀.

Использование в двоичной с/с минимального количества цифр, для записи чисел, позволяет наиболее экономично реализовывать аппаратную часть ЭВМ. Каждая цифра двоичного числа называется бит. Бит называется также двоичным разрядом. Группа из 8 бит составляет байт, который может хранить различные типы данных, такие как буквы алфавита, десятичные цифры или другие знаки. Таким образом, 1 бит = 2^-3 байт.

Байт является основной единицей измерения информации. Кроме этого для измерения объема информации часто используются следующие производные от байта:

1 Кбайт (килобайт) = 1024 байт = 2¹⁰ байт,

1 Мбайт (мегабайт) = 1024 Кбайт = 2²⁰ байт,

1 Гбайт (гигабайт) = 1024 Мбайт = 2³⁰ байт,

1 Тбайт (терабайт) = 1024 Гбайт = 2⁴⁰ байт.

Для перевода чисел из двоичной с/с в десятичную используются выражения (1, 2).

Пример. 11101,01₂  (?)₁₀

1⁴1³1²0¹1⁰,0^-11^-2  12⁴ + 12³ + 12² + 02¹ + 12⁰ + 02^-1 + 12^-2 = 29,25₁₀

Существенным недостатком двоичной с/с является громоздкая запись чисел. Для упрощения записи двоичных чисел могут быть использованы восьмеричная и шестнадцатеричная с/с.

1.1.2. Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления, которая является производной от двоичной, используется восемь цифр от 0 до 7, и её основание А=8. Основание восьмеричной с/с, т. е. число 8, можно представить в виде 2³. Поэтому одной восьмеричной цифре соответствует три двоичных разряда – триада.

Соответствие между восьмеричным числом и его двоичным и десятичным представлениями приведено в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Связь между восьмеричной, двоичной и десятичной с/с

Восьмеричная с/с	Двоичная с/с	Десятичная с/с
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
10	001 000	8
11	001 001	9
12	001 010	10

Для перевода двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить двоичное число на триады следующим образом: целая часть разбивается на триады, начиная с младших разрядов (с правого края целой части числа), а дробная часть – с левого края. Разряды, которых не хватает для формирования триад с левого или правого краев, заполняются 0. Полученные триады с помощью таблицы 1.1, заменяются восьмеричными цифрами.

Пример. 1011010110,01₂  (?)₈

1011010110,01₂  001 011 010 110 , 010  1326,2₈

Для выполнения обратного перевода (из 8 с/с в 2 с/с) каждую восьмеричную цифру заменяют соответствующей двоичной триадой. Незначащие 0 в целой и дробной частях полученного числа можно отбросить.

Пример. 357,24₈  (?)₂

357,24₈  011 101 111 , 010 100  11101111,0101₂

Для перевода числа из восьмеричной с/с в десятичную также используются выражения (1, 2).

Пример. 357,24₈  (?)₁₀

последовательность весовых коэффициентов имеет вид

3² 5¹ 7⁰,2^-1 4^-2  38² + 58¹ + 78⁰ + 28^-1 + 48^-2 = 239,3125₁₀