§5. Замена переменных в двойном интеграле

Замена переменных в двойном интеграле часто существенно упрощает его вычисление.

I. Пусть D – связный простой компакт, расположенный в плоскости OXY, а функция f(x;y) непрерывна на этом компакте. Пусть, далее, компакт D*, расположенный в плоскости O'UV и отображение F, определяемое парой функций

(1)

y v

P v

y DD D D*

C C*

0 x x 0' u u

Рис.1

таковы, что

1. Отображение F компакта D* на D взаимно однозначно;

2. Функции (1) непрерывно – дифференцируемы в D*

3. Якобиан отображение (2) отличен от нуля в D*:

. (2)

Последнее равенство запишем короче в виде

.

Такое отображение будем называть регулярным.

При регулярном отображении (1) внутренние точки P*(u;v) компакта D* переходят во внутренние точки P (u;v) компакта D, а при обратном отображении F^-1

(3)

внутренние точки P (x;y) компакта переходят D во внутренние точки P*(u;v) компакта D*.

Кроме того

.

Возьмем в D* прямую . При отображении (1) ей в D отвечает линия, определяемая параметрическими уравнениями

(4)

(параметром здесь является v).

Аналогично, каждая прямая компакта D* отображается на линию

(5)

компакта D.

Линии (4) и(5) называются координатными линиями (на компакте плоскости OXY).

Эти линии, вообще говоря, кривые (см.Рис.2).

v y

v₀ u₀

v₀

0’ u₀ u 0 x

Рис.2

Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения (1) через каждую точку (x;y) компакта D проходит единственная линия вида (4) при постоянном значении u и единственная линия вида (5) при постоянном значении v . Эти величины u и v называют криволинейными координатами точки (x;y).

Перейдем теперь к преобразованию двойного интеграла

от непрерывной на связном простом компакте D функции f(x;y) с помощью рассмотренного выше регулярного отображения F.

Имеем

, (6)

где – интегральная сумма для функции f(x;y), соответствующая произвольному разбиению T компакта D на любое конечное число квадрируемых ячеек, при произвольном выборе точек (;) в этих ячейках, (T) - наибольший из диаметров этих ячеек.

Возьмем в качестве T разбиения компакта D на криволинейные ячейки, соответствующие разбиению компакта D* на ячейки с помощью прямых, параллельных осям O’U, O’V.

v y

v _i+1

v _i

0’ u_k u _k+1 u 0 x

Рис.3

Поскольку площадь границы компакта D равна нулю, то двойной интеграл можно рассматривать как предел суммы только тех слагаемых интегральной суммы, которые соответствуют внутренним ячейкам разбиения T компакта D.

Поэтому

, (7)

где – площадь криволинейного четырехугольника , ограниченного линиями

.

Переходя к декартовым координатам вершин этого четырехугольника будем иметь:

,

где

Введем обозначения

.

Считая, в целях сокращения выкладок, что функции и имеют в D* непрерывные частные производные второго порядка*⁾ и пользуясь формулой Тейлора для функции 2-х переменных, получим:

Так как остаточные члены являются бесконечно малыми величинами высшего порядка малости по сравнению с и при , то они не влияют на величину предела интегральной суммы, поэтому при нахождении этого предела их можно отбросить.

Таким образом, можно считать:

Легко проверить, что

так, что прямолинейная фигура является параллелограммом, площадь которого

*) При вычислении предела (7), как показано в 4, можно обойтись и без этого предположения.

равна удвоенной площади треугольника , т.е. модулю определителя (см., например, 6, стр.72)

.

Имеем

т.е.

.

Следовательно,

-

- интегральная сумма для непрерывной в D* функции .

Предел этой суммы при существует и равен двойному интегралу

.

Теперь (7) можно переписать в виде

. (8)

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема (о замене переменных в двойном интеграла). Если отображение (1) компакта D* на D регулярно, то справедлива формула (8).

Пример. Вычислим , если область D - квадрат, ограниченный прямыми .

 Введем новые переменные

. (9)

Тогда .

По формулам (9) квадрат преобразуется в квадрат

(см.Рис. 4).

y v

1

3 1 3

-1 u

1

0 1 3 x Рис.4

Так как

,

то согласно (8) имеем

.

Поскольку , то

.

