§ 3. Основные свойства двойного интеграла

Пусть D – простой компакт в R²_. Имеют место следующие утверждения.

1. Если функция f (x; y) интегрируема в D и c = const R , то функция cf (x; y) также интегрируема в D и

.

2. Если функции f (X; y) и (X; y) интегрируемы в d, то их сумма также интегрируема в d и .

Замечание. Это свойство методом математической индукции обобщается на случай любого конечного числа интегрируемых функций.

3. Свойство аддитивности:

Если компакт D есть объединение простых компактов D₁ и D_2. ( ) без общих внутренних точек и функция f (x; y) интегрируема в D, то она интегрируема на каждом из компактов D₁ и D₂ , причем

.

4. Если функция f (x;y) интегрируема в D и f (x; y) 0 в D (f (x; y)0 в D), то

( ).

4. Если функции f (x; y) и (x; y) интегрируемы в D и f (x; y) (x; y) в D, то

.

4. Если функция f (x; y) интегрируема в D и m  f (x; y)  M в D, то

.

Доказательство утверждений 1-6 аналогично доказательству соответствующих утверждений функций одной переменной.

4. Теорема о среднем значении для непрерывной функции:

Если функция f (x; y) непрерывна на связном простом компакте D , то существует по крайней мере одна точка (x₀;y₀)D, такая, что

.

При этом число называется средним значением функции f на компакте D.

Так как функция f (x; y) непрерывна на компакте D , то она принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения: m и M соответственно. Поэтому

.

Отсюда

.

Следовательно,

.

Число , промежуточное между m и М, само является значением функции f (x; y) в некоторой точке (x₀; y₀)D:

.

Отсюда и следует (1).

8. Теорема об оценке двойного интеграла:

Если функция f (x; y) интегрируема в D, то функция также интегрируема в D, причем

.

 Так как , то

.

Последнее двойное неравенство равносильно (2).

Упражнения

1. Найдите средние значения заданных функций на указанных компактах:

1) в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой ;

2) в замкнутой области, ограниченной осью OX и верхней полуокружностью .

2. Оцените следующие интегралы:

1) , где R² ;

2) , где R²

§ 4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием

При вычислении двойного интеграл,а от функции f (x; y) по простому связному компакту нам понадобится следующее понятие:

Определение 1. Компакт D, лежащий в плоскости OXY, будем называть правильным в направлении оси OY, если любая прямая, параллельная оси OY и проходящая через внутреннюю точку P этого компакта, пересекает его границу только в двух точках P₁ и P₂,; при этом точка P₁ (с меньшей ординатой) называется точкой входа (указанной прямой в компакт D), а точка P₂ (с большей ординатой) - точкой выхода из D.

y Так для компакта A₁A₂BA указанного на Рис. 1, участок A₁B границы состоит из

A₁ P₂ точек входа, а участок A₂B – из точек выхода.