58

Глава 1. Двойной интеграл

Понятие квадрируемой плоской фигуры и ее площади, границы и диаметра множества

M  R², простого компакта в R², кубируемой фигуры Ф R³ и ее объема, используемые в данной главе, будем считать известными из рассмотренных ранее тем курса (см., например, 1, 2).

§ 1. Задача о массе материальной пластины. Понятие двойного интеграла

Пусть D – простой компакт в R²,т.е. замкнутое, ограниченное, квадрируемое множество.

1. Задача о массе материальной пластины

Определение 1. Разбиением T простого компакта DR² будем называть любое представление его в виде объединения конечного числа квадрируемых компактов ( S_K) попарно без общих внутренних точек. Ø, ik; .

Эти компакты( S_K) назовем ячейками разбиения T компакта D, а площадь ячейки

(  S_K) обозначим через  S_K ( ).

Определение 2.Диаметром T разбиения T простого компакта D будем называть наибольший из диаметров его ячеек:

( ).

y

0 x

Очевидно, что для любого простого компакта DR² можно указать разбиение T со сколь угодно малым диаметром. Наиболее удобным является разбиение с помощью прямых, параллельных осям координат.

Определение 3. Пусть в плоскости OXY расположена материальная пластина D (представляющая собой простой компакт) c поверхностной плотностью (x₀;y₀) распределения масс в точке P₀(x₀;y₀) пластины D называется предел

,

где  - любая квадрируемая часть пластины D, содержащая точку P_0, а S_, m(), () - соответственно площадь, масса и диаметр этой части  пластины D.

Если пластина D однородная, т.е. , то ее масса m равна .

Пусть теперь пластина D неоднородная, т.е. в D .

Возьмем произвольное (достаточно мелкое) разбиение T пластины D на любое конечное число n ячеек ( S_k) (попарно без общих внутренних точек) с площадями  S_k ( ). В каждой ячейке ( S_k) выберем произвольную точку , тогда масса всей пластины D будет приближенно равна

. (1)

Определение 4. Массой m материальной пластины D называется предел суммы (1) при ( если этот предел существует и конечен):

. (2)

Пределы вида (2) носят название двойных интегралов.

2. Понятие двойного интеграла

Пусть функция f(x; y) определена на простом компакте DR² . Возьмем произвольное разбиение T компакта D на любое конечное число n квадрируемых ячеек ( S_k).(попарно без общих внутренних точек) с площадями  S_k ( ).

В каждой ячейке ( S_k) ( ) выберем произвольно точку и составим сумму

. (3)

Эта сумма называется интегральной суммой (Римана) для функции f . Она зависит от разбиения T компакта D и от выбора точек ( ).

Пусть (T) – диаметр разбиения T компакта D.

Определение 5. Если при существует конечный предел интегральной суммы (3), то функция f называется интегрируемой (по Риману) на компакте D, а сам этот предел называется двойным интегралом (Римана) функции f или от функции f или от функции f по компакту D и обозначается или .

Таким образом, по определению

. (4)

Если f(x;y)1 на D, то правая часть (4) равна S_D (площадь компакта D)

.

В дальнейшем, в целях удобства изложения, компакт D будем называть областью интегрирования.