Решение

Поместим начало координат на левом конце балки и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота:

Определяем начальные параметры у₀ и ф₀ исходя из условий опорных закреплений:

Из второго условия находим φ₀:

откуда

Знак минус перед значением угла поворота показы­вает, что поворот начального сечения происходит по ча­совой стрелке. Из второго условия находим у₀:

Откуда

Знак минус перед значением прогиба показывает, что он направлен вниз, противоположно положительному на­правлению оси у.

П ример 3. Определить прогиб посередине пролета балки, нагруженной равномерно распределенной нагруз­кой (см. рис. 2.51, а).

Решение

Поместим начало координат на левой опоре балки и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота:

Определяем начальные параметры y₀ и φ₀ исходя из условия опорных закреплений:

Из первого условия находим у₀ = 0.

Из второго условия определяем φ₀:

Откуда

Подставляя у₀ и φ₀ в уравнение прогибов, получаем

В середине пролета при z = 0,5l прогиб принимает максимальное значение

Знак минус перед значением прогиба показывает, что он направлен вниз, т. е, в сторону, противоположную по­ложительному направлению оси у.

Пример 4. Для балки, изображенной на рис. 2.62, опре­делить прогиб под точкой при­ложения силы и углы поворота на опорах А и В.

Решение

Поместим начало координат на опоре A. Раз­обьем балку на два участка и составим обобщенные уравне­ния упругой линии и углов по­ворота для каждого из них, предварительно определив опорные реакции:

для первого участка

для второго участка

Определяем начальные параметры исходя из условий опорных закреплений:

Из первого уравнения находим у₀:

Из уравнения прогибов для второго участка находим угол поворота φ₀ сечения на левой опоре:

Откуда

Подставив значение φ₀ в уравнение прогибов первого участка, получим

При z = a найдем прогиб сечения под точкой прило­жения силы Р:

Используя уравнение углов поворота для второго участка

найдем при z = l угол поворота сечения на правой опоре В:

Угол поворота φ_В положителен, следовательно, он в отличие от угла поворота φ_А направлен против часовой стрелки.

При приложении силы Р посередине пролета балки, т. е. при а = b = l/2, углы поворота опорных сечений и про­гиб под точкой приложения силы примут значения:

Пример 5. Определить максимальный прогиб двухопорной балки, нагруженной равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой интенсивностью q и сосредоточенной силой Р посередине пролета.

Решение

Наибольший прогиб при симметричном нагружёный балки возникает посередине пролета, под точ­кой приложения силы Р. Этот прогиб может быть найден на основе принципа независимости действия сил как сумма прогибов от распределенной нагрузки интенсивностью q и сосредоточенной силы Р:

Составляющие части полного прогиба были вычислены в предыдущих примерах. Подставляя их значения, полу­чаем

Оба составляющих прогиба направлены вниз и входят поэтому со знаком минус.