Решение

Максимальные изгибающий момент и попе­речная сила возникают в сечении заделки.

Максимальные нормальные напряжения

т. е. прочность по нормальным напряжениям обеспечена.

Максимальные касательные напряжения

следовательно, и по касательным напряжения прочность обеспечена.

Пример 3. Подобрать сечение стальной балки, изображенной на рис. 2.59, а в трех вариантах: 1) про­катный двутавр, 2) прямоугольник с отношением сторон h/b = 4/3, 3) круг. Определить отношения масс балок пря­моугольного и круглого сечения к массе балки двутавро­вого сечения. Допускаемое напряжение [σ] = 160 Н/мм². Проверить подобранные сечения по касательным напряже­ниям. Допускаемое касательное напряжение [т] = 96 Н/мм².

Р ешение

Эпюры поперечных сил и изгибающих момен­тов построены на рис. 2.59,6, в.

М аксимальный изгибающий момент возникает в сече­нии посередине пролета балки М_хтах= 37,5 кН-м. Тре­буемый момент сопротивления

Подбираем сечение балки в трех вариантах:

• Сечение — прокатный двутавр. По таблице ГОСТ 8239—72 подходит двутавровый профиль № 20а, его момент сопротивления W_x = 237 см³, площадь сечения F₁ = 35,5 см²,

• Сечение — прямоугольник с отношением сторон h/b = 4/3.

Для прямоугольника W_x = bh²/6; подставляя сюда b = 3h/4 и приравнивая требуемому значению, получаем:

откуда

Площадь сечения F₂ = 12,3_*9,2 = 113 см².

• Сечение — круг.

откуда

Площадь поперечного сечения

Отношение масс (равное отношению площадей сечений)

Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой в 3,18 раза, а балка круглого сечения — в 3,97 раза.

Проверим прочность балки по касательным напряже­ниям.

Наибольшая поперечная сила

Для двутавра № 20а из ГОСТ 8239—72 находим J_х/S_x = 172 мм, толщина стенки балки b = 0,7 см = 7 мм. Наибольшие касательные напряжения для двутавра

Для прямоугольного сечения h = 123 мм, b = 92 мм

Для круглого сечения d = 134 мм

Во всех случаях максимальные касательные напряже­ния оказались значительно ниже допускаемых.

Пример 4. Определить, какую наибольшую рав­номерно распределенную нагрузку q можно приложить к двухопорной балке пролетом l = 2 м, если ее сечение представляет круг d = 220 мм, а допускаемое напряжение [σ] =100 Н/мм².

Решение

Для данного случая наибольший изгибаю­щий момент возникает посередине пролета

Определяем допускаемое значение наибольшего изги­бающего момента

где

Тогда

Приравниваем вычисленное значение допускаемого изги­бающего момента его значению, выраженному через на­грузку:

откуда

П ример 5. Определить допускаемый изгибающий момент для чугунной балки, сечение которой изображено на рис. 2.60. Допускаемые напряжения на растяжение [σ_р]=300 кгс/см², на сжатие [σ_с] = 800 кгс/см².

Решение

Момент инерции сечения вычисляем как раз­ность моментов инерции большого и малого прямоуголь­ников

Осевой момент сопротивления

Допускаемый изгибающий момент определяем из расчета по наибольшим растягивающим напряжениям

то же, по наибольшим сжимаю­щим напряжениям

Меньший из вычисленных моментов [М_р] = 58,7 тс-м опре­деляет допускаемую нагрузку балки.

Таким образом, в чугунной балке симметричного сече­ния допускаемая нагрузка ограничивается прочностью растянутых волокон. Чтобы для чугунной балки допускае­мая нагрузка была одинакова по условиям прочности растянутых и сжатых волокон, сечение ее должно быть несимметричным относительно нейтральной оси. Расстоя­ния от нейтральной оси до крайних волокон растянутой зоны у_р и сжатой у_с должны удовлетворять отношению

Этого можно добиться, в частности, применив несимметричный двутавр, у которого горизонтальная полка, находящаяся в растянутой зоне, толще, чем полка, расположенная в сжатой зоне.