Примеры решения задач

П ример 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.50, а.

Решение

При построении эпюр для балок с одним защемленным концом можно не определять опорные реак­ции. Проводя сечение, будем рассматривать равновесие той части, к которой приложены только внешние (актив­ные) силы. Для балки по рис. 2.50, а такой частью будет левая.

Рассматривая равнове­сие левой отсеченной час­ти балки, выразим попе­речную силу и изгиба­ющий момент в произволь­ном сечении

Поперечная сила положи­тельна, так как внешняя нагрузка направлена сле­ва от сечения вверх, Q_y постоянна на всем протяжении балки. Эпюра поперечных сил построена на рис. 2.50, б.

Оба слагаемых, входящих в выражение изгибающего момента, положительны, так как соответствующие внеш­ние силы изгибают балку выпуклостью вниз. Изгибающий момент выражается линейной функцией от абсциссы се­чения z. Поэтому для построения этой эпюры достаточно найти значения изгибающего момента только в двух се­чениях балки:

Эпюра моментов показана на рис. 2.50, в.

Пример 2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.52, а.

Р ешение

Определяем опорные реакции. Реакция V _А направлена вверх, V_B — вниз, так как эти реакции об­разуют пару сил, уравновешивающую пару с моментом т. Составляя суммы моментов относительно опорных точек Л и В, находим:

Для проверки опорных реакций составляем сумму проекций на вертикальную ось:

следовательно, реакции вычислены правильно.

Балка имеет два участка I, II. Проводим произволь­ное сечение на участке I на расстоянии z от опоры А и рассматриваем левую отсеченную часть. Поперечная сила на этом участке постоянна, равна реакции V_А и положи­тельна, так как эта реакция направлена вверх и прило­жена слева от сечения.

Изгибающий момент в произвольном сече­нии участка I

Момент положите­лен, так как сила V_A изгибает балку выпук­лостью вниз.

В произвольном се­чении участка II попе­речная сила будет та­кой же, как на участ­ке I:

Изгибающий момент в произвольном сечении участ­ка II

Вычислим изгибающий момент в начале и в конце участка II:

Эпюры Q_y и М_х показаны на рис. 2.52, б, в. В сече­нии, где приложен сосредоточенный момент, в эпюре из­гибающих моментов имеется скачок, равный по величине внешнему моменту.

Пример 3. Для балки, изображенной на рис. 2.53, а, построить эпюры Q_y и М_г.

Решение

Определяем опорные реакции V_A и V_B:

откуда

Откуда

Составляем проверочное уравнение:

следовательно, опорные реакции определены верно.

В алка имеет три участка I, II, III (см. рис. 2.53, а): участок I — от опоры А до силы Р₁ (0 < z < l м), уча­сток II — от силы Р₁ до силы Р₂ (1 м << z < 3 м), участок III — от силы Р₂ до опоры В. На этом участке абсциссу удобнее отсчитывать не слева, а справа, т. е. от опоры В ( 0 < z₁ < 1 м).

Поперечная сила в произвольном сече­нии участка I

в произвольном сече­нии участка II

в произвольном сечении участка III

Если рассматривать левую отсеченную часть балки, то получим то же самое значение поперечной силы:

В последнем случае вычисления оказались более гро­моздкими, так как к левой части балки приложено три силы, а к правой — только одна. В пределах каждого участка поперечная сила постоян­на. По вычисленным значениям с соблюдением правила знаков эпюра Q_y построена на рис. 2.53, б. Эпюра имеет скачки под сосредоточенными силами V_A, P₁, Р₂, V_B, величина и направление скачка соответствуют величине и направлению внешней силы.

Переходим к построению эпюры изгибающих момен­тов. Берем сечение в пределах участка /; слева от него расположена одна сила — опорная реакция V_A. Изгибаю­щий момент в произвольном сечении участка I

Полученное выражение является уравнением прямой, поэтому для построения эпюры моментов на этом участке достаточно найти ординаты двух точек:

Значение ординаты М_х = 2,5 кН-м в выбранном мас­штабе откладываем вверх под точкой приложения силы P_v. Для определения изгибающего момента на участке II также рассматриваем равновесие левой отсе­ченной части балки:

Полученное выражение является уравнением прямой.

Для построения эпюры изгибающих моментов на участке II нужно определить ординаты в двух точках:

Значение M_x^II = 3,5 кН-м откладываем вверх под силой Р₂ и соединяем с уже построенной ординатой в сечении под силой P₁.

На участке III целесообразно рассмотреть правую часть балки, так как к ней приложено меньше сил, чем к левой:

где z₁ отчитывается от опоры В и изменяется в преде­лах от 0 до 1 м;

Под силой Р₂ значение M_x^II = M_x^11I, что подтверждает правильность решения.

Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 2.53, в.

П ример 4. На балку действуют сосредоточенные силы и мо­мент (рис. 30.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.