5. Признаки неограниченности целевой функции

Признак неограниченности сверху целевой функции в ОДР. Если некоторая свободная переменная х_j такова, что < 0, а все коэффициенты d_ij ≤ 0 (i = 1, 2, …, m), то целевая функция неограниченности сверху в ОДР. В этом случае записывают: F_max = + ∞.

Действительно, полагая в (5.14) все свободные переменные, кроме х_j

равными нулю, получим

F = , (12)

а для любой базисной переменной х_i имеем: х_i = d_i0 + | d_ij | х_j. Если увеличивать х_j, то значения F также увеличиваются, а все базисные переменные будут положительными. ЗЛП не имеет решений вследствие неограниченности целевой функции

Признак неограниченности снизу целевой функции в ОДР. Если некоторая свободная переменная х_j такова, что > 0, а все коэффициенты d_ij ≤ 0 (i = 1, 2, …, m), то целевая функция неограниченности снизу в ОДР:

F_min = - ∞.

В этом случае

F = ,

поэтому с возрастанием х_j целевая функция убывает. ЗЛП не имеет решений вследствие неограниченности целевой функции.

6. Признаки оптимальности опорного решения

Достаточный признак достижения целевой функцией минимума на данном ОР. Если все оценки свободных переменных неположительны, ≤ 0, то минимум целевой функции равен числу (все свободные переменные равны нулю).

Достаточный признак достижения целевой функцией максимума на данном ОР. Если все оценки свободных переменных неотрицательны, ≥ 0, то максимум целевой функции равен числу (все свободные переменные равны нулю).

Соответствующие ОР являются оптимальными.

Объединив оба случая, можно сформулировать признак оптимальности опорного решения: Опорное решение ЗЛП на максимум (минимум) является оптимальным, если для любого вектора условий оценка разложения по базису ОР неотрицательная (неположительная), т.е.

• в задаче на максимум ≥ 0 ;

• в задаче на минимум ≤ 0 .

При этом экстремальное значение целевой функции равно числу .

Признак единственности оптимального решения. Оптимальное решение ЗЛП является единственным, если для любого вектора условий, не входящего в базис, оценка не равна нулю, т.е. (здесь предполагается, что в базис оптимального решения входят первые m векторов).

Признак существования бесконечного множества оптимальных решений. ЗЛП имеет бесконечное множество оптимальных решений, если оценка хотя бы одного вектора условий, не входящего в базис, равна нулю, т.е. .

Из признака оптимальности следует, что в примере 6 оптимальным будет ОР (11/7, 0, 0, 12/7). Оценки всех свободных переменных положительны (последняя строка в табл. 13), поэтому целевую функцию больше увеличивать нельзя. . Из признака единственности оптимального решения следует, что найденное оптимальное решение (11/7, 0, 0, 12/7) единственно.

7. Симплексный метод

Симплексный метод (симплекс-метод) – метод последовательного улучшения решения ЗЛП, при котором целенаправленно перебирают опорные решения ЗЛП до тех пор, пока не будет найдено оптимальное.

Впервые симплекс-метод был предложен в 1947 г. американским математиком Джорджем Бернардом Данцингом, однако ещё в 1939 г. идеи этого метода прозвучали в работе российского учёного Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства».

Алгоритм решения симплексным методом:

1) Привести ЗЛП к каноническому виду.

2) Найти начальное ОР. Если оно отсутствует, то ЗЛП не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

3) Проверить для ОР признак оптимальности. Если он выполняется, то оптимальное решение получено.

4) Проверить для ОР признак неограниченности целевой функции в ОДР. Если он выполняется, то оптимального решения не существует.

5) Выбрать базисную переменную. Если ЗЛП на максимум, то нужно выбрать любую свободную переменную с отрицательной оценкой (например, переменную с наименьшим номером). Если ЗЛП на минимум, то нужно выбрать любую свободную переменную с положительной оценкой (например, переменную с наибольшим номером). Выбранная свободная переменная будет базисной.

6) Выбрать уравнение, в котором заменяется базисная переменная. Номер l этого уравнения определяется по правилу минимума (6). Если минимум достигается сразу для нескольких номеров, то можно выбрать любое из них.

7) Перейти к новому ОР, используя при этом формулы (4) – (5) - правило прямоугольника и вернуться к выполнению пункта 3.

Поскольку число ОР конечно, то алгоритм закончит работу через конечное число шагов (оптимальное ОР будет получено при выполнении 2-го, 3-го или 4-го пунктов). Расчёты оформляются в симплекс-таблицы.

Пример 5. Решить симплекс-методом ЗЛП:

F(Х) = → max,

.

Решение. Приведём ЗЛП к каноническому виду. Для этого введём дополнительные неотрицательные переменные х₃, х₄, х₅ в систему ограничений:

Расчёты представим в табл. 4, которая состоит из трёх частей, соответствующих выполнению трёх шагов симплекс-метода.

1 шаг. В первой части табл. 4 записаны коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы ограничений канонической ЗЛП; базисные переменные - х₃, х₄, х₅; свободные переменные - х₁, х₂. Во 2-м столбце записаны коэффициенты целевой функции при базисных переменных х₃, х₄, х₅.

Число 0∙4 + 0∙3 + 0∙4 = 0 = F(Х) записано в последней строке последнего столбца первой части табл. 4.

;

.

Числа , записаны в последней строке первой части табл. 4 в столбцах, соответствующих свободным переменным х₁, х₂. Оценки базисных переменных х₃, х₄, х₅ равны нулю.

Таблица 4

Базис		1	2	0	0	0	Свободные коэффициенты
		х1	х2	х3	х4	х5
х3 х4 х5	0 0 0	1 0 2/3	0 1 1	1 0 0	0 1 0	0 0 1	4 3 4
		-1	-2	0	0	0	0
х3 х2 х5	0 2 0	1 0 2/3	0 1 0	1 0 0	0 1 -1	0 0 1	4 3 1
		-1	0	0	2	0	6
х3 х2 х1	0 2 1	0 0 1	0 1 0	1 0 0	3/2 1 -3/2	-3/2 0 3/2	5/2 3 3/2
		0	0	0	1/2	3/2	15/2

По последнему столбцу записываем первое полученное ОР (0, 0, 4, 3, 4). Значение целевой функции F(0, 0, 4, 3, 4) = 0.

В строке оценок получены два отрицательных числа, следовательно, ОР (0, 0, 4, 3, 4) не является оптимальным и может быть улучшено.

В качестве базисной переменной выбираем х₂, т.к. ей соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка. Номер l опорной строки определяем по правилу минимума (6):

= 3 .

Во 2-й строке первой части табл. 14 базисная переменная х₄ заменяется на х₂. Опорный элемент таблицы d_lS = d₂₂ = 1 (выделен полужирным курсивом).

2 шаг. Во второй части табл. 4 базисные переменные - х₃, х₂, х₅; свободные переменные - х₁, х₄.

0∙4 + 2∙3 + 0∙1 = 6 = F(Х);

;

.

По последнему столбцу записываем второе полученное ОР (0, 3, 4, 0, 1). Значение целевой функции F(0, 3, 4, 0, 1) = 6, видим, что оно улучшено.

В строке оценок получено одно отрицательное число, следовательно, ОР (0, 3, 4, 0, 1) также не является оптимальным и опять может быть улучшено.

В качестве базисной переменной выбираем х₁, т.к. ей соответствует отрицательная оценка. Номер l опорной строки определяем по правилу минимума (6):

.

В 3-й строке второй части табл. 14 базисная переменная х₅ заменяется на х₁. Опорный элемент таблицы d_lS = d₃₁ = 2/3 (выделен полужирным курсивом).

3 шаг. В третьей части табл. 4 базисные переменные - х₃, х₂, х₁; свободные переменные - х₅, х₄.

= F(Х);

;

.

По последнему столбцу записываем третье полученное ОР (3/2, 3, 5/2, 0, 0). Значение целевой функции F(3/2, 3, 5/2, 0, 0) = 7,5. Оно улучшено по сравнению с предыдущим.

В строке оценок получены неотрицательные числа, следовательно, ОР (3/2, 3, 5/2, 0, 0) является оптимальным.

Таким образом, на третьем шаге симплекс-метода получено единственное оптимальное решение для исходной ЗЛП: х₁ = 1,5; х₂ = 3.

.

Можно проверить правильность найденного оптимального решения графическим методом (рис. 2).

ОДР данной задачи – многоугольник OABCD. Нормальный вектор = (1; 2). Перпендикулярно вектору строим линию уровня = 0. Перемещаем её в направлении вектора до последней точки В, в которой она касается ОДР.

М аксимум достигается в вершине В (1,5; 3).

Рис. 2. Решение ЗЛП графическим методом

Пример 6. Решить симплекс-методом ЗЛП:

F(Х) = max,

.

Решение. Приведём ЗЛП к каноническому виду. Для этого введём дополнительные неотрицательные переменные х₃, х₄, х₅ в систему ограничений:

Расчёты представим в табл. 5, которая состоит из трёх частей, соответствующих выполнению трёх шагов симплекс-метода.

1 шаг. В первой части табл. 5 записаны коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы ограничений канонической ЗЛП; базисные переменные - х₃, х₄, х₅; свободные переменные - х₁, х₂. Во 2-м столбце записаны коэффициенты целевой функции при базисных переменных х₃, х₄, х₅.

Число 0∙6 + 0∙8 + 0∙2 = 0 = F(Х) записано в последней строке последнего столбца первой части табл. 15.

,

.

Числа , записаны в последней строке первой части табл. 5 в столбцах, соответствующих свободным переменным х₁, х₂. Оценки базисных переменных х₃, х₄, х₅ равны нулю.

Таблица 5

Базис		2	4	0	0	0	Свободные коэффициенты
		х1	х2	х3	х4	х5
х3 х4 х5	0 0 0	1 2 0	2 1 1	1 0 0	0 1 0	0 0 1	6 8 2
		- 2	- 4	0	0	0	0
х3 х4 х2	0 0 4	1 2 0	0 0 1	1 0 0	0 1 0	- 2 - 1 1	2 6 2
		- 2	0	0	0	4	8
х1 х4 х2	2 0 4	1 0 0	0 0 1	1 - 2 0	0 1 0	- 2 3 1	2 2 2
		0	0	2	0	0	12

По последнему столбцу записываем первое полученное ОР (0, 0, 6, 8, 2). Значение целевой функции F(0, 0, 6, 8, 2) = 0.

В строке оценок получены два отрицательных числа, следовательно, ОР (0, 0, 6, 8, 2) не является оптимальным и может быть улучшено.

В качестве базисной переменной выбираем х₂, т.к. ей соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка ( = - 4). Номер l опорной строки определяем по правилу минимума (6):

= 2 .

В 3-й строке первой части табл. 15 базисная переменная х₅ заменяется на х₂. Опорный элемент таблицы d_lS = d₃₂ = 1 (выделен полужирным курсивом).

2 шаг. Во второй части табл. 5 базисные переменные - х₃, х₂, х₄; свободные переменные - х₁, х₅.

0∙2 + 0∙6 + 4∙2 = 8 = F(Х),

,

.

По последнему столбцу записываем второе полученное ОР (0, 2, 2, 6, 0). Значение целевой функции F(0, 2, 2, 6, 0) = 8 улучшено.

В строке оценок получено одно отрицательное число - 2, следовательно, ОР (0, 2, 2, 6, 0) также не является оптимальным и опять может быть улучшено.

В качестве базисной переменной выбираем х₁, т.к. ей соответствует отрицательная оценка. Номер l опорной строки определяем по правилу минимума (6):

.

В 1-й строке второй части табл. 5 базисная переменная х₃ заменяется на х₁. Опорный элемент таблицы d_lS = d₁₁ = 1 (выделен полужирным курсивом).

3 шаг. В третьей части табл. 5 базисные переменные - х₄, х₂, х₁; свободные переменные - х₅, х₃.

,

,

.

По последнему столбцу записываем третье полученное ОР (2, 2, 0, 2, 0). Значение целевой функции F(2, 2, 0, 2, 0) = 12.

В строке оценок получены неотрицательные числа, следовательно, ОР (2, 2, 0, 2, 0) является оптимальным. Это одно из бесконечного множества оптимальных решений, т.к. оценка свободной переменной 0.

8. Двойственные задачи

Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие другую задачу, называемую двойственной или сопряжённой. Первоначальная задача называется исходной, а обе ЗЛП образуют пару двойственных (сопряжённых) задач.

Выделяют симметричные (когда исходная ЗЛП является стандартной), несимметричные (когда исходная ЗЛП является канонической), смешанные (когда исходная ЗЛП задана в общем виде) двойственные задачи.

Исходная ЗЛП	Двойственная ЗЛП
Симметричные пары
F(Х) = СХ → max, АХ В,	Z(Y) = YB→ min, АTY ,
F(Х) = СХ → min, АХ В,	Z(Y) = YB → max, АTY C,
Несимметричные пары
F(Х) = СХ → max, АХ = В,	Z(Y) = YB → min, АTY
F(Х) = СХ → min, АХ = В,	Z(Y) = YB → max, АTY C

Здесь C = , Y = ,

A = , А^ = , , .

Замечание. По правилу умножения матриц матрицу А можно умножить на матрицу В, если число k столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом результатом умножения будет матрица С, у которой строк столько же, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:

A _{m  k}  B _{k  n} = С _{m  n}   i , j : c_ij = а_i1 b_1j + а_i2 b_2j + ... + а_ik b_kj .

Поэтому в записи двойственных ЗЛП матрицы C = , Y = в зависимости от ситуации следует рассматривать как вектор-строку или как вектор-столбец. Так, в записи F(Х) = СХ матрица C является вектор-строкой (1 строка и n столбцов). В записи для системы ограничений А^TY матрица C – вектор-столбец (n строк и 1 столбец), Y - вектор-столбец (m строк и 1 столбец). А в случае Z(Y) = YB матрица Y – уже вектор-строка (1 строка и m столбцов).

Двойственные задачи связаны между собой следующим образом:

• в одной задаче ищут максимум целевой функции, в другой - её минимум;

• коэффициенты с_j целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи;

• свободные члены b_i системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

• матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи.

Алгоритм составления симметричной двойственной задачи

1) Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к виду, когда знаки неравенств направлены в одну сторону: или все (если ищут максимум целевой функции), или все (если ищут минимум целевой функции). Те неравенства, в которых данное требование нарушается, следует умножить на (- 1).

2) Составить целевую функцию, коэффициентами которой являются свободные члены системы ограничений исходной задачи; число неизвестных равно числу неравенств системы ограничений исходной задачи:

Z(Y) = .

3) Если в исходной задаче ищут максимум целевой функции, то в двойственной - её минимум, и наоборот.

4) Составить систему ограничений исходя из того, что

• её коэффициенты образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений исходной задачи;

• знаки неравенств меняются на противоположные тем, которые в системе ограничений исходной задачи;

• её свободные члены - коэффициенты с_j целевой функции исходной задачи.

5) Записать условие неотрицательности для переменных y_j.

Пример 7. Составить двойственную задачу к ЗЛП:

F(Х) = → max,

.

Решение. Исходная ЗЛП является стандартной (в системе ограничений только неравенства), поэтому воспользуемся алгоритмом составления симметричной двойственной задачи.

1) Приведём все неравенства системы ограничений исходной задачи к виду, когда знаки неравенств направлены в одну сторону: , т.к. ищут максимум целевой функции. Для этого последнее неравенство умножим на (- 1). Получим систему ограничений исходной задачи в виде

2) Составим целевую функцию двойственной задачи. Система ограничений исходной задачи содержит 3 неравенства, следовательно, число неизвестных целевой функции также равно 3. Обозначим неизвестные: . Коэффициентами целевой функции будут свободные члены системы ограничений исходной задачи, т.е. числа 1, 5, -8. Так как в исходной задаче требуется найти максимум целевой функции, то в двойственной нужно найти её минимум. Таким образом, имеем

Z(Y) = → min.

3) Составим систему ограничений

A = , А^ =

4) Условие неотрицательности для переменных y_j:

.

Двойственная задача получена. Запишем симметричную пару двойственных задач:

Исходная ЗЛП	Двойственная ЗЛП
F(Х) = → max,	Z(Y) = → min,

Алгоритм составления несимметричной двойственной задачи

1) Составить целевую функцию, коэффициентами которой являются свободные члены системы ограничений исходной задачи; число неизвестных равно числу уравнений системы ограничений исходной задачи:

Z(Y) = .

2) Если в исходной задаче ищут максимум целевой функции, то в двойственной - её минимум, и наоборот.

3) Составить систему ограничений исходя из того, что

• её коэффициенты образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений исходной задачи;

• знаки неравенств проставляются в зависимости от того, максимум или минимум ищут в исходной задаче: если исходная ЗЛП – на максимум, то в неравенствах знаки , если исходная ЗЛП – на минимум, то знаки ;

• её свободные члены - коэффициенты с_j целевой функции исходной задачи.

Переменные y_j могут быть произвольными по знаку.

Пример 8. Составить двойственную задачу к ЗЛП:

F(Х) = → min,

.

Решение. Исходная ЗЛП является канонической (в системе ограничений только уравнения), поэтому воспользуемся алгоритмом составления несимметричной двойственной задачи.

1) Составим целевую функцию двойственной задачи. Система ограничений исходной задачи содержит 2 уравнения, следовательно, число неизвестных целевой функции также равно 2. Обозначим неизвестные: . Коэффициентами целевой функции будут свободные члены системы ограничений исходной задачи, т.е. числа 9, 2.

Так как в исходной задаче требуется найти минимум целевой функции, то в двойственной нужно найти её максимум. Таким образом, имеем

Z(Y) = → max.

2) Составим систему ограничений двойственной задачи. Её коэффициенты образуют транспонированную матрицу A^ коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Составим матрицы А, A^:

А = , A^ = .

Знаки неравенств системы ограничений двойственной задачи будут , т.к. исходная ЗЛП – на максимум. Свободные члены системы ограничений двойственной задачи - коэффициенты целевой функции исходной задачи, т.е. числа 1, - 6, - 1.

Система ограничений двойственной задачи имеет вид:

Переменные могут быть произвольными по знаку.

Получили следующую несимметричную пару двойственных задач:

Исходная ЗЛП	Двойственная ЗЛП
F(Х) = → min,	Z(Y) = → max,