3. Переход к новому опорному решению

Получим формулы, по которым можно пересчитать коэффициенты уравнений системы, приведённой к стандартному виду (2), когда в одном из уравнений заменяется базисная переменная.

Пусть в уравнении с номером l базисной переменной была x_l, а требуется, чтобы базисной стала x_S. Переменная x_S входит в l-е уравнение с ненулевым коэффициентом d_lS. Чтобы переменная x_S стала базисной, она должна входить в l-е уравнение с коэффициентом, равным единице. Следовательно, l-е уравнение нужно разделить на d_lS и исключить переменную x_S из всех остальных уравнений системы.

Коэффициенты при неизвестных x_j в уравнении с номером l пересчитываются по формулам:

, ;

правая часть l-го уравнения пересчитывается следующим образом:

.

Если в i-е уравнение переменная x_S входит с коэффициентом d_iS, то для исключения её из i-го уравнения нужно прибавить к этому уравнению l-е уравнение, умноженное на (- d_iS).

Если в i-е уравнение переменная x_j входит с коэффициентом d_ij, то к числу d_ij нужно прибавить число .

Таким образом, коэффициенты при неизвестных в i-м уравнении ( ) пересчитываются по следующим формулам:

, , (4)

которые называют правилом прямоугольника (рис. 1).

По этому правилу вычисляются и свободные коэффициенты (правые части) i-го уравнения ( ):

. (5)

Рис. 1. Правило прямоугольника

Пример 3. Получить новое ОР системы уравнений:

Решение. Для данной системы из 6-ти возможных вариантов выбора базисных переменных в примере 4 мы уже рассмотрели два: (х₃, х₄), (х₁, х₃). Причём в первом случае найденное решение не являлось опорным, а во втором случае было получено ОР (1, 0, 2, 0). Перейдём от него к новому ОР. Вычисления сведём в табл. 1.

Таблица 1

Базис	Переменные				Свободные коэффициенты
	х1	х2	х3	х4
х1 х3	1 (3/4) 0	4/3 (1) -1/6	0 1	-1/3 (-1/4) 7/6	1 (3/4) 2
х2 х3	3/4 1/8	1 0	0 1	-1/4 27/24	3/4 17/8

В первой части табл. 1 записаны коэффициенты при неизвестных х₁, х₂, х₃, х₄ и свободные члены системы, приведённой к стандартному виду для базисных переменных х₁, х₃:

Во второй части табл. 1 записаны коэффициенты при неизвестных х₁, х₂, х₃, х₄ и свободные члены преобразованной системы

где х₂, х₃ - базисные переменные (базисная переменная х₁ заменена на х₂).

Коэффициенты второй части табл. 1 получены следующим образом. Чтобы переменная х₂ стала базисной в 1-м уравнении, нужно поделить все коэффициенты 1-го уравнения на число 4/3 – коэффициент при х₂ .

Коэффициент d_lS = d₁₂ = 4/3 назовём опорным элементом таблицы. Он выделен полужирным шрифтом в первой строке первой части табл. 1.

Новые коэффициенты 1-го уравнения указаны в скобках рядом со старыми в 1-ой части и занесены в 1-ю строку второй части табл.1.

Коэффициенты второй строки 2-й части табл. 1 получены по формулам (4)-(5), геометрическая интерпретация которых такова: нужно мысленно соединить пересчитываемое число и опорный элемент диагональю прямоугольника, затем построить вторую диагональ. Так, если соединить число 7/6 (d₂₄) с опорным элементом 4/3 (d₁₂), то на 2-й диагонали будут числа -1/6 (d₂₂) и -1/4 (d₁₄). Чтобы получить новое значение коэффициента d₂₄, нужно из прежнего значения вычесть произведение чисел, стоящих на 2-й диагонали:

.

Новое ОР (0, 3/4, 17/8, 0) получено из табл. 11, помня, что свободные переменные (в нашем случае х₁, х₄) равны нулю, а базисные переменные (х₂, х₃) равны правым частям (это последний столбец 2-й части).

Аналогично можно найти следующее ОР системы уравнений.

Для выбора уравнения, в котором нужно заменить базисную переменную, используют правило минимума:

, d_iS > 0. (6)

По данному правилу можно найти начальное опорное решение, кроме того, его необходимо использовать при переходе от одного опорного решения к другому.