Геометрические приложения определённых интегралов Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной на отрезке [a; b] функции f (x), осью Ох и прямыми x = a; x = b (рис. 2), вычисляется по формуле
. (6)
Площадь
фигуры, ограниченной графиками
непрерывных на отрезке [a;
b]
функций f1(x)
и f2(x),
причём f1(x)
f2(x),
осью Ох
и прямыми x = a;
x = b,
вычисляется по формуле
.
(7)
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, отрезком
[a; b] оси О х и прямыми x = a; x = b, вычисляется по формуле
,
(8)
где
и
определяются из уравнений a
= х(
),
b=
х(
).
Площадь
криволинейного сектора, ограниченного
кривой, заданной в полярных координатах
уравнением
и полярными радиусами
и
(
),
вычисляется по формуле
.
(9)
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
параболой
и прямой
.
Решение. Построим заданные линии (рис. 3); найдём точки их пересечения: (-3, 4), (2, -1).
Рис. 3
По формуле (7) получим:
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
,
.
Решение. Построим заданные линии (рис. 4); найдём точки их пересечения: (1, 1), (9, 1), (9, 3).
По формуле (7) получим:
(кв. ед.).
Рис. 4
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной параметрическими уравнениями
,
.
Решение. Заданные уравнения определяют астроиду (рис. 5), симметричную относительно координатных осей.
Рис. 5. Астроида
По формуле (8):
(кв.
ед.).
Заметим, что если заданные параметрические уравнения возвести в квадрат и сложить, то получим уравнение астроиды в декартовой системе координат:
.
Вычисление длины дуги плоской кривой
Длина дуги гладкой кривой y = f (x) на отрезке [a; b] вычисляется по формуле
.
(10)
Кривая называется гладкой, если её производная непрерывна.
Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), то длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от до , вычисляется по формуле
,
(11)
где и определяются из уравнений a = х( ), b= х( ).
Если
гладкая кривая задана в полярных
координатах уравнением
(
),то
длина дуги кривой вычисляется по формуле
.
(12)
Пример. Найти
длину кривой
.
Решение. Кривая задана в декартовых координатах, поэтому для вычисления длины дуги кривой применим формулу (10). Сначала вычислим производную
.
Подставим найденные величины в формулу (6.10), получим:
Пример. Найти длину дуги одной арки циклоиды (рис. 41)
,
.
Решение. Кривая
задана параметрическими уравнениями,
поэтому для вычисления длины дуги кривой
применим формулу (6). Сначала вычислим
производные:
,
.
Рис. 6. Циклоида
=
Откуда по формуле (6.11):
Пример. Найти
длину дуги кривой
.
Решение. Кривая задана в полярных координатах, поэтому для вычисления длины дуги кривой применим формулу (12).
Уравнение
определяет кардиоиду (рис. 7), симметричную
относительно оси Ох.
Угол
изменяется от 0 до
.
Вычислим производную:
.
;
.
Рис. 7. Кардиоида
В силу симметрии
кардиоиды, найдём длину верхней половины
кривой (0
)
и умножим результат на 2.
