4. Интегрирование рациональных функций
Выражение
вида
,
где
,
-
многочлены степени m
и
n
соответственно, называется рациональной
дробью
(рациональной
функцией).
Рациональная
дробь называется правильной,
если m
<
n,
и неправильной, если m
n.
Если дробь неправильная, то делением многочлена на можно привести её к сумме многочлена и правильной дроби.
Элементарными дробями называют правильные дроби следующих видов:
I.
;
II.
,
где
;
III.
,
где
;
IV.
,
где
,
,
A, B, p, q, a – действительные числа.
Интегралы от элементарных дробей можно вычислить следующим образом.
I.
;
II.
;
III.
Для вычисления интеграла
выполним три вспомогательных действия.
1)
Обозначим знаменатель дроби
=
t,
откуда, дифференцируя, имеем
,
или
.
2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:
.
3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:
=
.
Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов, из которых первый можно вычислить заменой = t, второй – сведением к табличному интегралу.
=
+
=
.
IV. Аналогично предыдущему случаю интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов
=
,
из которых первый найдём с помощью замены = t, а второй преобразуем, выделив в знаменателе дроби полный квадрат:
=
.
Обозначив
,
получим
=
.
Интеграл
вычисляется по рекуррентной формуле:
,
которая
после (n
- 1)-кратного применения сводит исходный
интеграл
к табличному интегралу
.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение. Данный интеграл является интегралом III типа. Выделив в знаменателе полный квадрат, приведём интеграл к табличному интегралу.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение. Данный интеграл является интегралом III типа. Выполним три вспомогательных действия.
1)
Обозначим знаменатель дроби
=
t,
откуда, дифференцируя, имеем
,
или
.
2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:
.
3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:
=
.
Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов
=
6
,
из которых первый найдём с помощью замены = t, а второй сведём к табличному интегралу, выделив в знаменателе дроби полный квадрат. Получим
=
.
5. Метод неопределенных коэффициентов
Пусть требуется вычислить интеграл от правильной дроби, знаменатель которой имеет вид
.
В этом случае следует разложить подынтегральную функцию на элементарные дроби:
.
Неопределённые
коэффициенты
находят из последнего равенства, домножив
его на знаменатель левой части. Тем
самым получается равенство двух
многочленов. А, как известно, два
многочлена равны тогда, когда равны
коэффициенты при одинаковых степенях
неизвестной величины. Поэтому приравнивают
коэффициенты при одинаковых степенях
х
в левой и правой частях полученного
тождества и решают систему линейных
уравнений относительно коэффициентов
.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение.
Представим
дробь
в виде суммы двух дробей:
=
+
.
Для
того чтобы найти неизвестные величины
A
и
B,
умножим это выражение на знаменатель
левой части
.
Получим равенство многочленов:
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений
Её
решения:
.
Следовательно,
=
.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Разделим числитель на знаменатель «уголком»
Получим
.
Разложим
знаменатель правильной дроби на
элементарные сомножители:
=
,
тогда
.
Теперь разложим правильную дробь на элементарные дроби:
=
+
.
Для того чтобы найти неизвестные величины A и B, умножим это выражение на знаменатель левой части . Получим равенство многочленов:
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений
Решения
системы:
.
Следовательно,
=
+
;
.
Итак,
=
=
=
