Методические указания к проведению лекционного занятия Темы № 4.2. – 4.5. Основные методы интегрирования План:

1. Непосредственное интегрирование

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

3. Формула интегрирования по частям

4. Интегрирование рациональных функций

5. Метод неопределенных коэффициентов

6. Интегрирование иррациональных функций

7. Интегрирование тригонометрических функций

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределённых интегралов и таблицы интегралов.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. = - + =

.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. =

= .

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. = = =

2. Замена переменной в неопределенном интеграле Замена переменной в неопределенном интеграле осуществляется с помощью подстановок двух видов:

1) x = (t), где  (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:

= ;

2) , где u – новая переменная. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:

= .

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Выполним замену переменной, обозначив , тогда 2хdx= dt, откуда

.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Выполним замену переменной, обозначив ln х = t, тогда dx/х = dt, откуда

.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Так как , обозначим cos x = t, тогда 

– sin x dx = dt, и

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Выполним замену переменной, обозначив , тогда , откуда

3. Формула интегрирования по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке X функции. Тогда

.

Интегрируя это выражение, получим:

,

,

откуда следует формула интегрирования по частям:

= uv –  . (1)

С помощью формулы (1) нахождение интеграла сводится к вычислению другого интеграла . Поэтому применение формулы (1) целесообразно только тогда, когда последний интеграл может быть вычислен проще исходного. При этом за u = u(x) берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой можно найти.

Для интегралов вида , , , где - многочлен, за u следует принять , а за dv – соответственно выражения , , .

Для интегралов вида , , , где - многочлен, за u следует принять соответственно функции , , , а за dv – dх.

Пример. Найти неопределенный интеграл

.

Решение. Пусть u = x; dv = cos 3x dx, тогда du = dx; v = sin 3x. Отсюда по формуле интегрирования по частям получим:

Пример. Найти неопределенный интеграл

_ (x² – 3x + 2) e^5xdx.

Решение. Пусть x² – 3x + 2 = u; e^5xdx = dv. Тогда du = (2x – 3) dx; . По формуле интегрирования по частям получим:

 _ (x² – 3x + 2) e^5xdx = .

К последнему интегралу ещё раз применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e^5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получим:

_ (x² – 3x + 2) e^5x dx =

.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Пусть ,

тогда =

.