Действия над числовыми последовательностями

1. Произведением последовательности {х_n} на число С называется последовательность {С· х_n}: С· {х_n} = {С· х_n};

2. Суммой последовательностей {х_n} и {y_n} называется последовательность {х_n + y_n }: {х_n} + {y_n} = {х_n + y_n};

3. Произведением последовательностей {х_n} и {y_n} называется последовательность {х_n y_n}: {х_n} · {y_n} = {х_n y_n};

4. Частным последовательностей {х_n} и {y_n} называется последовательность : , .

5. Ограниченные и неограниченные последовательности

Опр.: Последовательность {х_n} называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что для любого члена этой последовательности выполняется условие: , т.е. М: х_n .

Опр.: Последовательность {х_n} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для любого члена этой последовательности выполняется условие: , т.е. m: х_n .

Опр.: Последовательность {х_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа М и m такие, что для любого члена этой последовательности выполняется условие: .

Если , то условие ограниченности последовательности принимает вид: , т.е. А > 0: х_n .

Опр.: Последовательность {х_n} называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент х_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству , т.е.

А > 0: х_n .

Примеры: 1) Последовательность ограничена, т.к. n N: ;

2) Последовательность неограниченная;

3) Последовательность ограничена снизу, т.к. n N: n , но неограниченна сверху.

6. Монотонные последовательности

Опр.: Последовательность {х_n} называется

• возрастающей, если n N;

• неубывающей, если n N;

• убывающей, если n N;

• невозрастающей, если n N.

Все такие последовательности объединены общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными.

Пример: Последовательности {х_n} = , {y_n} = являются монотонными, причём {х_n} – возрастающая, а {y_n} – убывающая последовательность.

Монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны:

• возрастающие и неубывающие – снизу, т.к. n N;

• невозрастающие и убывающие – сверху, т.к. n N.

7. Сходящиеся последовательности

Опр.: Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого положительного числа  существует номер N такой, что для всех n > N выполняется условие х_n  – а < .

Обозначается предел: , или при ;

.

Термин «предел» (от латинского limes – межа, граница) ввёл английский учёный Исаак Ньютон (1643-1727), а символ lim ввёл в 1786г. швейцарский математик Симон Люилье (1750-1840).

Геометрический смысл предела последовательности заключается в следующем: для любого положительного числа  все члены последовательности, начиная с некоторого номера, большего N, будут лежать в промежутке (а - ; а + ), или, другими словами: вне любого промежутка (а - ; а + ) может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Опр.: Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Теорема. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Пример: Последовательность {х_n} = имеет предел, равный нулю, т.к. .

Р ис. 8. Последовательность

Так, при  = 0.5 в -окрестность точки 0 попадут все члены, кроме первых двух; при  = 0.1 в -окрестность точки 0 попадут все члены, кроме первых десяти; при  = 0.01 - все члены, кроме первых ста и т.д. (рис. 3).

Свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

3. Сумма или разность двух сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} является сходящейся последовательностью {х_n ± y_n}, предел которой равен сумме или разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}:

.

4. Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} является сходящейся последовательностью {х_n y_n}, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}:

.

5. Частное двух сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n}, при условии, что , является сходящейся последовательностью , предел которой равен частному пределов последовательностей {х_n} и {y_n}:

.

6. Постоянную величину можно выносить за знак предела:

.

7) Если даны последовательности {х_n}, {y_n}, {z_n}, причём n N и последовательности {х_n}, {z_n} имеют один и тот же предел а, тогда последовательность {y_n} также имеет предел а.

Опр.: Последовательность {х_n} называется бесконечно малой, если .

Опр.: Последовательность {х_n} называется бесконечно большой, если .

Замечание: Если последовательность {х_n} является бесконечно малой, то последовательность {1/х_n} является бесконечно большой. И обратно, если последовательность {y_n} является бесконечно большой, то последовательность {1/y_n}является бесконечно малой.

Примеры: 1) Последовательность {х_n} = является бесконечно малой, т.к. . Последовательность {1/х_n} = - бесконечно большая; .

2) Последовательность {y_n} = - бесконечно большая, т.к. . Последовательность {1/y_n} = - бесконечно малая;