Методические указания к проведению лекционного занятия Темы № 2.1. – 2.2. Множества. Числовые последовательности

План:

1. Множества. Основные понятия.

2. Операции над множествами.

3. Числовые множества.

4. Числовые последовательности.

5. Ограниченные и неограниченные последовательности.

6. Монотонные последовательности.

7. Сходящиеся последовательности.

1. Множества. Основные понятия.

Одним из основных понятий в математике является понятие множества. Его нельзя определить строгим математическим языком, однако можно дать следующее определение, понятное на интуитивном уровне.

Опр.: Множество – это набор, совокупность или семейство некоторых объектов, называемых его элементами, обладающими общим для всех них характеристическим свойством.

Примеры различных множеств:

1. совокупность страниц книги;

2. множество студентов в учебном заведении;

3. набор фломастеров в одной коробке;

4. множество натуральных чисел;

5. множество решений данного уравнения и т.д.

Множества обозначают большими, а их элементы – малыми буквами. Если х – элемент множества Х, то пишут х Х. Если х – не является элементом множества Х, то пишут х Х. Запись Х = {x₁, x₂, …, x_n} означает, что множество Х состоит из элементов x₁, x₂, …, x_n.

Чтобы задать множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Пусть Р(х) – свойство числа х, тогда запись {x| Р(х)}означает множество всех таких чисел x, которые обладают свойством Р(х).

Опр.: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустое множество, и пишут: Х = Ø.

Примеры: 1) {x| x² + x - 6 = 0} – множество корней уравнения

x² + x - 6 = 0, т.е. это множество состоит из двух чисел: - 3 и 2.

2) {x| x² + x - 6 > 0} – множество всех чисел x, удовлетворяющих неравенствам: x < - 3 или x > 2.

3) {x| x < - 3 и, одновременно x > 2} = Ø – пустое множество.

Опр.: Пусть Х и Y – два множества. Если каждый элемент множества Х является в то же время элементом множества Y, то множество Х называют подмножеством множества Y.

Записывают так: Х Y или Y Х (читают: Х содержится в Y, или Х - подмножество множества Y, или Y содержит Х). Часто множества изображают на плоскости в виде диаграмм Эйлера-Венна. Для случая Х Y диаграмма представлена на рис. 1.

Рис. 1. Х Y

Замечание: Пустое множество является подмножеством любого множества.

Опр.: Два множества Х и Y называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и обозначаются: Х = Y.

2. Операции над множествами

1. Объединением множеств Х и Y называют множество Z, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х и Y. Обозначают: Z = Х Y. (Операция логического «или»)

Примеры диаграмм Эйлера-Венна объединения множеств Х и Y приведены на рис. 2. Объединением может быть как слитное образование (рис. 2, а), так и раздельное (рис. 2, б).

а) б)

Рис. 2. Объединение множеств

2. Пересечением множеств Х и Y называют множество Z, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству Х, так и множеству Y (рис. 3). Обозначают: Z = Х Y. (Операция логического «и»)

Множества, пересечение которых является пустым множеством, называют непересекающимися (рис. 3, б).

а) Z = Х Y

б) Х Y = Ø

Рис. 3. Пересечение множеств

3. Разностью множеств Х и Y называют множество Z, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству Х, но не принадлежат множеству Y (рис. 4). Обозначают: Z = Х \ Y. (Операция логического «без»)

Х Y Х Y а) Х \ Y= Х \ (Х Y)

б) Х \ Y = Х

в) Х \ Y = Ø

Рис. 4. Множество Х \ Y

4. Универсальное множество U – это такое множество, которое содержит все рассматриваемые множества.

Множество U \ Х называется дополнением множества Х и обозначается или Х ‘ (рис. 5).

U

Х

Рис. 5. Множество

Пример: Даны множества Х = {1; 2; 3; 4; 5}, Y = {- 2; 0; 2; 4; 6},

Z = {-1; 2; 3}. Требуется найти множества: Х Y; Х Y Z; Х Y; Х \ Y; Y \ Х; Х Y Z; (Х \ Y) (Y \ Х).

Решение: Х Y = {- 2; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};

Х Y Z = {- 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}; Х \ Y = {1; 3; 5};

Y \ Х = {- 2; 0; 6}; Х Y Z = {2}; Х Y = {2; 4};

(Х \ Y) (Y \ Х) = {1; 3; 5} {- 2; 0; 6} = Ø.

Свойства операций над множествами:

Для любых множеств Х, Y, Z выполняются следующие равенства:

1) Х Х = Х - идемпотентность объединения;

2) Х Х = Х - идемпотентность пересечения;

3) Х Y = Y Х - коммутативность объединения;

4) Х Y = Y Х – коммутативность пересечения;

5) Х (Y Z) = (Х Y) Z - ассоциативность объединения;

6) Х (Y Z) = (Х Y) Z - ассоциативность пересечения;

7) Х (Y Z) = (Х Y) (Х Z) - дистрибутивность объединения относительно пересечения;

8) Х (Y Z) = (Х Y) (Х Z) - дистрибутивность пересечения относительно объединения;

9) Х U =U ; Х U = Х; Х Х’ =U, где U – универсальное множество;

10) Х Ø =Х ; Х Ø = Ø; Х X’ = Ø;

11) (Х ’)’= Х ’’= Х - закон инволюции (или закон двойного дополнения), где Х ’- дополнение множества Х;

12) (Х Y)’= Х ’ Y ’; (Х Y)’ = Х ‘ Y ’ - законы де Моргана для множеств (или принцип двойственности).