Параметрические уравнения линии

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений

(1)

где х и у - координаты произвольной точки М (х; у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром.

Параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Так, если

то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (4; 1), т.к. х = 2 + 2 = 4, y = 2 · 2 – 3 = 1.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания кривой называется параметрическим, а уравнения (1) - параметрическими уравнениями линии.

Рассмотрим примеры известных кривых, заданных в параметрическом виде.

1. Астроида:

где а > 0 – постоянная величина.

При а = 2 имеет вид:

Рис.4. Астроида

2) Циклоида: где а > 0 – постоянная.

При а = 2 имеет вид:

Рис.5. Циклоида

Векторное уравнение линии Линию на плоскости можно задать векторным уравнением

,

где t – скалярный переменный параметр.

Каждому значению параметра t₀ соответствует определённый вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (рис. 6).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху

соответствуют два скалярных уравнения (4), т.е. уравнения проекций

на оси координат векторного уравнения линии есть её параметрические уравнения.

у

М

О

х

Рис.6. Векторное уравнение линии

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, линия – траекторией точки, параметр t - время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x, y) = 0.

Отметим ещё раз, что в аналитической геометрии на плоскости решают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, требуется найти её уравнение. Вторая: зная уравнение кривой, требуется найти её форму и свойства.

Различные уравнения прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу (рис. 7).

Пусть эта прямая пересекает ось Оу в точке В (0; b) и образует с осью Ох угол α ( 0 < α < π/2).

Возьмём на прямой произвольную точку М (х; у). Тангенс угла α наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника MNB:

.

Обозначим угловой коэффициент прямой k = tg α , получим

, откуда

у = kx + b. (1)

Рис.7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Формула (1) справедлива и для случая π/2 < α < π.

Итак, мы показали, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (1). Нетрудно убедиться, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению (1).

Уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи уравнения (1).

Рис.8. Частные случаи уравнения прямой с угловым коэффициентом

1) Если b = 0, то получим у = kx - уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при k = tg α > 0 острый угол α с осью Ох, а при k = tg α < 0 – тупой угол (рис. 8, а).

2) Если α = 0, то k = tg α = 0, и уравнение прямой, параллельной оси Ох, имеет вид у = b (рис. 8, б).

3) Если α = π/2, то k = tg α не существует, прямая перпендикулярна оси Ох, имеет вид х = а (рис. 8, в).