Методические указания к проведению лекционного занятия Тема № 1.6. Прямые и линии на плоскости

План:

1. Уравнение линии на плоскости

2. Различные уравнения прямой

3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

4. Расстояние от точки до прямой

Уравнение линии на плоскости

Линия на плоскости рассматривается как множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами, только им присущими. Так, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удалённых на расстояние R от фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определить положение точки плоскости заданием двух чисел – её координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнение линии в декартовой системе координат

Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей

на этой линии.

Уравнение линии можно записать в виде F(x, y) = 0, или, если это возможно, в виде y = f (x), где F(x, y), f (x) – некоторые функции.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Для того, чтобы установить лежит ли точка М(x₀, y₀) на заданной кривой, достаточно проверить (не проводя геометрических построений), удовлетворяют ли координаты точки М уравнению этой кривой в выбранной системе координат.

Пример. Принадлежат ли точки А (-1; 0) и В (1; 1) линии ?

Решение. Подставим в заданное уравнение вместо х и у координаты точки А, получим 8 · (-1) - 3 · 0 - 5 = - 13 ≠ 0. Следовательно, точка А не лежит на данной линии. Точка В лежит на заданной линии, т.к. 8 · 1 - 3 · 1 - 5 = 0.

Любую кривую можно выразить соответствующим уравнением, хотя на практике это не всегда просто сделать. Но не всякое уравнение определяет на плоскости некую линию.

Примеры. Уравнение определяет только одну точку (0; 0). Уравнение вообще не определяет ни одной точки на плоскости, т.к. это уравнение не имеет действительных решений.

Задача нахождения точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁ (x, y) = 0 и F₂ (x, y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т.е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Уравнение линии в полярной системе координат

Уравнением линии (кривой) в полярной системе координат называется уравнение F(r, φ) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой

точки, не лежащей на этой линии.

Рассмотрим примеры известных кривых, заданных в полярных

координатах.

1. Спираль Архимеда: r = а·φ, где а > 0 – постоянная величина.

При а = 10 имеет вид:

Рис.1. Спираль Архимеда

2. Лемниската Бернулли: r = а· , где а > 0 – постоянная.

При а = 2 имеет вид:

Рис.2. Лемниската Бернулли

3. Улитка Паскаля: r = b + а· , где а, b – константы.

При а = 4, b = 2 имеет вид:

Рис.3. Улитка Паскаля