Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера, как и матричный способ, применяется для решения систем n линейных уравнений c n неизвестными при условии, что основной определитель системы не равен нулю:

det A =   0.

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными вида (1).

Пусть А - основная матрица системы (матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных).

Рассмотрим определители:

; ;

; ... ; .

Определители получаются из определителя системы  заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго, ..., n -го столбцов.

Если det A =   0, то существует, и притом единственное, решение этой системы, которое вычисляется по формулам Крамера:

. (4)

Пример. Решите систему уравнений методом Крамера:

Решение. 1) Вычислим det A =  = = 10.

2) Вычислим вспомогательные определители:

_х = = 2 + 24 – 24 + 6 = 8; _у = =

= - 6 + 24 – 24 +2 = - 4; _z = = 2 + 6 + 2 – 6 = 4.

3) Найдём неизвестные по формулам Крамера (4):

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является наиболее распространённым методом решения систем линейных уравнений как вида (1), так и произвольных систем m линейных уравнений c n неизвестными.

Метод Гаусса - это метод последовательного ис­ключения неизвестных. Ис­ключение неизвестных осуществляется при помощи следующих преобразований системы:

• умножения уравнения системы на число, отличное от нуля;

• перестановки местами двух уравнений системы;

• прибавления к одному уравнению системы другого, умноженного на какое-либо число.

Процесс исключения неизвестных состоит в переводе исходной системы линейных уравнений в такую равносильную систему, в которой каждое следующее уравнение содержит по крайней мере одним неизвестным меньше, чем предыдущее. Если этот процесс завершён, то решение системы находится следующим образом: из последнего уравнения определяется одно из неизвестных, затем подстановкой в предыдущее уравнение определяется другое неизвестное, далее вновь подстановкой в предшествующее уравнение находится ещё одно неизвестное и т.д., пока не определяются все неизвестные.

Процесс последовательного ис­ключения неизвестных может быть реализован различными вычислительными схемами, например, схемой с выбором главного элемента в столбце. Суть её заключается в следующем.

Рассмотрим систему (1). Выберем среди коэффициентов а₁₁ , а₂₁, ... , а_n1 при неизвестном х₁ наибольший по абсолютной величине. Уравнение с выбранным наибольшим коэффициентом при х₁ поставим первым в системе (1). Пусть наибольшим по абсолютной величине будет коэффициент а₁₁. Разделим обе части первого уравнения на а₁₁, получим уравнение вида

, (5)

где .

С помощью уравнения (5) исключим во всех уравнениях системы (1), начиная со второго, слагаемые, содержащие х₁. Для этого умножим обе части уравнения (5) последовательно на а₂₁ , а₃₁ , ... , а_n1 и вычтем соответственно из 2-го, 3-го, ..., n -го уравнений системы (1).

В результате получим систему (n - 1)-го порядка вида

(6)

где

Аналогично преобразуем систему (6). Выберем среди коэффициентов при неизвестном х₂ наибольший по абсолютной величине. Пусть наибольшим будет коэффициент . Уравнение с этим коэффициентом при х₂ поставим первым в системе (6) и т.д. После n таких шагов получим сис­тему с треугольной матрицей вида

(7)

эквивалентную системе (1).

Преобразование системы (1) в равносильную систему (7) называется прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение переменных из системы (7) называется обратным ходом. Действительно, из последнего уравнения найдём х_n, подставим его в предпоследнее уравнение, найдём х_n-1 и т.д. Подставив в первое уравнение найденные х_n, х_n-1, ..., х₂, получим х₁.

Мы рассмотрели идею метода Гаусса (схема с выбором главного элемента в столбце) на примере вычисления системы линейных уравнений вида (1). Если рассматривать общий случай – решение системы, в которой число уравнений не равно числу неизвестных, то в конце преобразований можем получить сис­тему не с треугольной матрицей (7), а ступенчатую.

Коэффициенты называются главными (ведущими) элементами метода Гаусса.

Обычно все вычисления при использовании метода Гаусса заносят в таблицу. Для проверки правильности нахождения промежуточных и конечных результатов в таблицу включают столбец контрольных сумм . Над контрольными суммами (как при прямом, так и при обратном ходе) производятся те же действия, что и над элементами матрицы. Если в вычислениях не будет ошибок, то контрольная сумма  в каждой строке будет совпадать с суммой элементов данной строки S.

Для системы линейных уравнений 3-го порядка

таблица выглядит следующим образом.

Коэффициенты при неизвестных х1 х2 х3			Свободный член	Контрольная сумма 	Разность К =  - S
а11 а21 а31	а12 а22 а32	а13 а23 а33	с1 = а14 с2 = а24 с3 = а34		0 0 0
1	c12 =	c13 =	c14 =	c15 =	К1
	=а22 -а21c12 = а32-а31c12	= а23-а21c13 = а33-а31c13	= а24-а21c14 = а34-а31c14	= а25 - а21c15 = а35 - а31c15	К2 К3
	1	=	=	=	К4
					К5
		1	=	=	К6
		1	х3 =		К7
	1		х2= =		К8
1					К9

К₁ = c₁₅ - (1 + ), К₂ = - , К₃ = - ,

К₄ = - ( ), К₅ = - ( ), К₆= - ( ),

К₇ = , К₈ = , К₉ = .

Пример. Решите систему уравнений методом Гаусса по схеме с выбором главного элемента в столбце

с точностью до 10^-2.

Решение. Вычисления, проведённые с помощью табличного процессора Excel, занесём в таблицу.

Коэффициенты при неизвестных х1 х2 х3			Свободный член	Контрольная сумма 	Разность Кi =  - Si
3,10	-1,9	-1,2	1,1	1,10	0
1,2	3,1	-0,5	1,7	5,5	0
-0,3	-0,5	0,7	0,8	0,7	0
1	-0,6129	-0,3871	0,3548	0,2258	-0,1290
	3,8355	-0,0355	1,2742	5,2290	0,1548
	-0,6839	0,5839	0,9065	0,7677	-0,0387
	1	-0,0093	0,3322	1,3633	0,0404
		0,5775	1,1336	1,7001	-0,0111
		1	1,9629	2,9436	-0,0192
		1	1,9629	2,9436	-0,0192
	1		0,3504	1,3906	0,0402
1			1,3294	2,2176	-0,1118

Получим решение заданной системы уравнений:

х = 1,3294; у = 0,3504; z = 1,9629.

С точностью до сотых получим ответ:

х  1,33; у  0,35; z  1,96.

Видим, что вычисление по данной схеме «вручную» является довольно трудоёмким занятием, которое можно облегчить, применяя компьютер. Однако этот процесс можно значительно упростить, если преобразования Гаусса проводить не с самими уравнениями системы, а с матрицей их коэффициентов.

Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными. Если к основной матрице А системы прибавить вектор-столбец свободных коэффициентов, то получим расширенную матрицу системы:

.

Иногда в расширенной матрице столбец свободных членов отделяют от других элементов пунктирной чертой.