Методические указания к проведению лекционного занятия Тема №1.4. Системы линейных уравнений

План:

1. Основные понятия и определения

2. Решение систем линейных уравнений матричным способом

3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

5. Исследование систем линейных уравнений

6. Системы линейных однородных уравнений

Основные понятия и определения

Уравнение называется линейным, или уравнением первой степени относительно одного или нескольких неизвестных, если его левая и правая части есть многочлены первой степени относительно неизвестных.

Система m линейных уравнений c n неизвестными х₁, х₂, …, х_n имеет вид:

(1)

Здесь а_ij , с_i (i =1, 2, …, m; j =1, 2, …, n) - заданные числа, причём числа а_ij называются коэффициентами при неизвестных; с_i - свободными членами.

Введём матрицы:

; ; .

Здесь А, С - заданные матрицы; Х - неизвестный вектор-столбец.

Матрица А называется матрицей коэффициентов при неизвестных или основной матрицей системы, матрица С - вектор-столбцом свободных коэффициентов.

Определитель основной матрицы системы det A =  называется определителем системы (1).

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел х₁ = k₁ , х₂ = k₂, … , х_n = k_n , при подстановке которых каждое уравнение системы (1) обращается в верное тождество.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Эквивалентность матриц А и В обозначается: А ~ В.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Таким образом, классификацию систем линейных уравнений (в зависимости от их решений) можно представить в виде схемы (рис. 1).

Рис. 1 Классификация систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений матричным способом

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:

(1)

Это частный случай СЛУ, в которой число уравнений m равно числу неизвестных n. Заметим, что только при выполнении этого условия применим матричный метод.

По правилу умножения матриц систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

АХ = С, (2)

где А - заданная матрица (основная матрица системы);

С - заданный вектор-столбец свободных коэффициентов;

Х - неизвестный вектор-столбец.

Решением матричного уравнения (2) является такой вектор-столбец Х, который обращает уравнение (2) в тождество.

Воспользуемся обратной матрицей для решения матричного уравнения (2), а следовательно, и системы линейных уравнений (1).

Умножим уравнение (2) слева на А ^-1, получим:

А ^-1А Х = А ^-1С 

Е Х = А ^-1С 

Х = А ^-1С. (3)

Таким образом, (3) - решение уравнения (2), так как, подставив (3) в (2), получим верное тождество:

А (А ^-1 С) = С 

А А ^-1 С = С 

Е С = С  С = С.

Поскольку обратную матрицу можно найти только при условии, что det A =   0, то и сам матричный способ решения системы линейных уравнений можно применять при выполнении этого условия.

Пример. Решите систему уравнений матричным способом:

Решение. 1) Введём обозначения:

А = ; С = .

2) Вычислим det A =  = 10.

3. Найдём обратную матрицу А^-1.

Для этого сначала вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

А₁₁ = = - 11; А₁₂ = - =13; А₁₃ = = 2;

А₂₁ = - = 5; А₂₂ = = - 5; А₂₃ = - = 0;

А₃₁ = = 16; А₃₂ = - = - 8; А₃₃ = = - 2.

Запишем новую матрицу, составленную из алгебраических дополнений:

= .

Транспонируем матрицу :

^Т= .

Получим обратную матрицу А^-1:

А^-1= ^Т .

4) Найдём решение системы уравнений в виде вектор-столбца:

Х = А ^-1С =  = .

Таким образом, решением заданной системы уравнений являются следующие значения:

x = 0.8; у = - 0.4; z = 0.4.