Действия с матрицами

Над матрицами, как и над числами можно производить различные операции, причём одни из них аналогичны операциям над числами, а другие – специфические, присущие только матрицам. Рассмотрим основные операции над матрицами.

1. Равенство матриц. Две матрицы A = (а_ij) и B = (b_ij) называются равными, если они имеют одинаковый тип и соответствующие элементы их равны, т.е.

A _{m  n} = B _{m  n}   i = 1, 2, ..., m  j = 1, 2, ... , n : а_ij = b_ij .

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц A = (а_ij) и B = (b_ij) одинакового типа называется матрица C = (c_ij) того же типа, элементы которой c_ij равны суммам соответствующих элементов а_ij и b_ij матриц A и B, т.е.

A _{m  n} + B _{m  n} = С _{m  n}   i = 1, 2, ..., m  j = 1, 2, ... , n :

а_ij + b_ij = c_ij .

Аналогично определяется разность матриц.

Пример. Вычислите сумму и разность матриц А и В, если

, .

Решение.

+

; -

= .

3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы

A = (а_ij) на число k называется матрица kА, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:

k А = А k = .

Пример. Для матриц А и В из предыдущего примера найдите матрицы: -2А; 3А - 2В.

Решение.

;

; ;

.

4. Умножение матриц. Произведением матрицы A = (а_ij) _{m  k} на матрицу B = (b_ij) _{k  n} называется матрица C = (c_ij) _{m  n} , элементы которой c_ij равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, т.е.

A _{m  k}  B _{k  n} = С _{m  n}   i , j : c_ij = а_i1 b_1j + а_i2 b_2j + ... + а_ik b_kj .

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число k столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом результатом умножения будет матрица С, у которой строк столько же, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В.

Пример. Даны матрицы А = и В = .

Найдите произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

Решение. 1) Вычислим произведение матриц АВ:

А _{3  2} В _{2  2} = С_{3  2} =

=  = = .

2) Нам требуется вычислить произведение матриц В _{2  2} А _{3  2}. Поскольку нарушается условие о том, что число столбцов матрицы В должно быть равно числу строк матрицы А (2 3), то произведения ВА для указанных матриц не существует.

Заметим, что произведение двух матриц не обладает переместительным свойством, т.е., вообще говоря,

АВ  ВА.

5. Умножение на единичную матрицу. Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу, т.е. выполняется свойство единичной матрицы:

АЕ = ЕА = А.

6. Транспонирование матрицы. Если в матрице А размера

m  n переставить строки со столбцами, то получим матрицу размера n  m, которую называют транспонированной:

А^ = .

Свойства операции транспонирования

1. (А^)^ = А; 2. (А + В)^ = А^ + В^;

3. (kА)^ = kА^; 4. (АВ)^ = А^В^; 5. Е^ = Е.

Пример. Для матрицы А = транспонированной будет А^ = , причём видим, что матрица А имеет размер 2  4, а матрица А^ - размер 4  2.