6.7. Определение в рядах динамики общей тенденции развития

Изменение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление. Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития. Однако часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики её установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Суть метода в том, чтобы от интервалов или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.

Пример 6.10.

Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей 6.10.

Таблица 6.10

Реализация молочной продукции в магазинах города, тонн

Месяц	1996	1997	1998
январь	5.3	5.3	5.4
февраль	5.3	5.1	5.2
март	7.9	8.3	8.2
апрель	8.2	9.0	9.3
май	9.8	9.5	10.1
июнь	12.5	13.0	13.1
июль	11.8	12.2	12.5
август	10.3	10.4	10.8
сентябрь	8.2	8.0	8.3
октябрь	6.5	6.6	6.8
ноябрь	5.4	5.5	5.7
декабрь	5.5	5.5	5.6
Итого за год	96.7	98.4	101

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям. Для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:

1996 - 96.7 тонн,

1997 - 98.4 тонн;

1998 - 101 тонна

Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики - метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:

- исходные уровни ряда динамики, полученные в результате наблюдения, они заменяются средними уровнями

..........

..........

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:

	------
	------
.....	.....
	-----
	-----

сглаженный ряд короче исходного на число уровней (К-1)/2, где К - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней. Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д..

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием. При вычислении скользящего среднего, например, по четырём уровням , полученный результат относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни y₂ и y₃. Схема вычислений и расположение уровней сглаженного ряда становится сложнее:

И сходные уровни	Сглаженные уровни	Центрированные сглаженные уровни
	------	------
	------	------
.....	.....	.....
	-----	-----
	-----	-----

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление (рис 6.3.).

Рис 4.3. построен по данным о валовом сборе хлопка-сырца в стране за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 6.11

Таблица 6.11.

Валовой сбор хлопка-сырца, млн. тонн

Годы	Валовой сбор хлопка-сырца	Скользящая средняя по 5 уровням
1960	4.3	-
1961	4.5	-
1962	4.3	4.72
1963	5.2	5.00
1964	5.3	5.30
1965	5.7	5.64
1966	6.0	5.78
1967	6.0	5.86
1968	5.9	6.10
1969	5.7	6.32
1970	6.9	6.58
1971	7.1	6.94
1972	7.3	7.48
1973	7.7	7.68
1974	8.4	7.92
1975	7.9	8.22
1976	8.3	8.38
1977	8.8	8.54
1978	8.5	8.94
1979	9.2	9.18
1980	9.9	9.30
1981	9.6	-
1982	9.3	-

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчётными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

1 0

9

8

7

6

5

4

3 Исходные уровни

2 Сглаженные уровни

1

0

Рис.6.3 Валовой сбор хлопка-сырца

Например,

где a₀, a₁ - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

ti - моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, заданную коэффициентами a₀, a₁.

Расчёт коэффициентов a₀, a₁ ведётся на основе метода наименьших квадратов:

Если вместо y_i поставить a₀ + a₁t_i (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных a₀, a₁ (все t_i и y_i известны) достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов a₀, a₁.

Для прямой:

где n - число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда y_i.

Если вместо абсолютного времени t_i выбрать условное время таким образом, чтобы St_i = 0, то записанные выражения для определения a₀, a₁ упрощаются:

Пример 6.11.

Нечётное число уровней ряда.

1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	¬ абсолютное время
-3	-2	-1	0	1	2	3	¬ условное время

Чётное число уровней ряда.

1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	¬ абсолютное время
-7	-5	-3	-1	1	3	5	7	¬ условное время

В обоих случаях St_i = 0.

Пример 6.12.

Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. тонн).

1994	1995	1996	1997	1998
141,3	144,8	146,7	151,5	149,0

В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая . Определение a₀, a₁ производится для условного времени. В результате a₀ = 146.66, a₁ = 2.21. Расчет результатов аналитического выравнивания ряда динамики представлен в таблице 6.12. Полученные теоретические уровни образуют прямую линию. По этой линии, подставляя в уравнение прямой новое условное время, например, 3, 4 и так далее, можно сделать прогноз развития ряда динамики. Полученная прямая линия используется в других методах анализа рядов динамики - изучение сезонных колебаний, корреляция рядов динамики.

Таблица 6.12.

Аналитическое выравнивание ряда динамики

Год	Производство стали yi, млн. т.	Условное время ti	Теоретические уровни
1994	141.3	- 2	142.2
1995	144.8	- 1	144.4
1996	146.7	0	146.7
1997	151.5	1	148.9
1998	149.0	2	151.1

Важнейшей проблемой в методе аналитического выравнивания является выбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни ряда. Учитывают, например, следующие возможности:

1. В ряду динамики наблюдается равномерное развитие с примерно постоянными абсолютными приростами. В этом случае удобно выбрать уравнение прямой линии - . Коэффициент a₁ при этом будет показывать средний абсолютный прирост, наблюдаемый в ряду динамики.

2. В ряду динамики наблюдаются стабильные темпы роста. Для описания тенденции развития в ряду динамики можно выбрать функцию . Коэффициент a₁ показывает средний темп роста в ряду динамики.

Возможны и более сложные типы математических функций, выбираемых в качестве кривых, отражающих общую тенденцию развития в ряду динамики. Но всегда должна быть выбрана функция имеющая минимальное число параметров. Параметры подобранной функции должны иметь какую-либо интерпретацию, реальный экономический смысл.

В качестве критерия, позволяющего из множества функций выбрать ту, которая точнее описывает ряд, можно использовать величину ошибки:

.

Величина ошибки рассчитывается для разных функций. Функция с наименьшим значением ошибки лучше всего описывает ряд динамики.