3. Понятие отношения. Представление отношений в языке scb. Типология отношений. Классические и неклассические отношения

   1. Обобщение традиционной трактовки отношений

Ключевые понятия и идентификаторы ключевых scb-узлов:

отношение; нормализованное отношение; связка отношения; классическое отношение; отношение.

Каждое отношениеобщего вида, т.е. отношение,  понимаемое в широком смысле слова, представляет собой некоторое семейство однотипных в каком-то смысле множеств. В состав отношений могут входить как неупорядоченные множества, так и кортежи. В частности, каждое отношение классического вида представляет собой множество классических кортежей, имеющих одинаковую арность и использующих одинаковые наборы атрибутов.Переходя от множеств,  в частности, кортежей, входящих в состав отношения, к их  нормализованным эквивалентам и переходя от трактовки отношения как семейства знаков множеств к его трактовке как семействазнаковмножеств, получим нормализованный эквивалент отношения.

Нормализованное отношение–  это множество знаков  нормализованных множеств, каковыми, в частности, могут быть кортежи.Нормализованное отношение можно трактовать как иерархическую конструкцию, состоящую из следующих уровней:

• знак самого отношения;

• знаки нормализованных множеств, являющиеся элементами отношения (указанные множества могут быть как неупорядоченными множествами, так и кортежами);

• знаки атрибутов, используемых для указания роли элементов в кортежах, знаки которых являются элементами отношения;

• знаки множеств, являющиеся элементами множеств, знаки которых являются элементами отношения.

Множества, знаки которых находятся на четвёртом уровне указанной иерархической конструкции, могут быть либо нормализованными, либо ненормализованными, но тогда обязательно 1-мощными. Как уже отмечалось (см. подраздел 2.1), при нормализации множеств можно оперировать только одним видом  ненормализованных множеств – унарными ненормализованными множествами, которые названы предметными множествами.

Особо подчеркнем то, что некоторые знаки, входящие в состав рассмотренной выше многоуровневой конструкции, могут принадлежать сразу нескольким уровням.Так, например, знак отношения может быть элементом кортежа или неориентированного множества, входящего в состав этого же отношения.Кроме того, знак кортежа или неориентированного множества, входящего в состав отношения, может быть элементом как самого этого кортежа  или неориентированного множества (см.рефлексивное множество), так и другого кортежа или неориентированного множества, входящего в состав этого же отношения.

Входящие в состав отношения кортежи и неориентированные множества будем называть связкамиэтогоотношения. Другими словами, связка – это множество, знак которого принадлежит какому-либо нормализованному отношению. Термин "связка" здесь не случаен, т.к. каждое множество (в частности, кортеж), знак которого входит в состав нормализованного отношения, представляет собой описание некоторой конкретной связи между объектами, знаки которых являются элементами связки. При этом тип (семантика) указанной связи определяется отношением, элементом которого является знак соответствующей связки.

В языке SCBg для изображения ориентированных связок (т.е. связок, являющихся кортежами) чаще всего используется графический примитив    (см. пункт 3.2.2). Для изображения знаков неориентированных связок (т.е. связок, являющихся неориентированными множествами) введем еще один графический примитив .

Для сравнения рассмотренной широкой трактовки отношений приведём определение узкой (классической) трактовки отношений. Отношения, соответствующие такой трактовке, будем называть классическими.

Определение 3.3.1.1. Классическое отношение– это множество знаков нормализованныхклассическихкортежей, имеющиходинаковуюмощность и использующиходинаковыеатрибуты.

Переход от узкой (классической) трактовки отношений к широкой трактовке – это допущение использования в качестве связок не только классических, но и неклассических кортежей, а также неориентированных кортежей, и неориентированных множеств, допущение неодинаковой мощности связок и допущение использования разных атрибутов в разных кортежах.

Примерами отношений общего вида можно считать множества, введенные нами в подразделах  2.1, 3.1 и обозначаемые следующими идентификаторами:

• пара принадлежности– это отношение, элементами которого являются знаки всевозможных пар принадлежности (в связи с этим вместо имени нарицательного“пара принадлежности”можно использовать эквивалентное имя собственное“Отношение принадлежности”);

• узловое непредметное множество;

• система множеств;

• множество пар принадлежности;

• множество узловых множеств;

• множество без кратных элементов;

• множество с кратными элементами;

• рефлексивное множество;

• нерефлексивное множество;

• 1-мощное множество,2-мощное множество,3-мощное множество/* и т.д. */;

• 1-элементное множество,2-элементное множество/* и т.д. */;

• конечное множество,бесконечное множество;

• кортеж;

• неориентированное множество.

Введем специальный scb-узел с идентификатором“отношение”. Этот узел обозначает множество знаков всевозможных нормализованных отношений (нормализованность отношений в языкеSCBподразумевается по умолчанию). Кроме того, в языкSCBgдополнительно введемеще один графический примитивдля изображения знаков конкретных отношений. Введение указанного графического примитива соответствуетправилу:

Правило 3.3.1.1. Следующие изображения знака отношения являются эквивалентными:





r

Очевидно, что если подразумевать широкую трактовку понятия отношения, то множество с именем “отношение”  также следует отнести к числу отношений, т.е. имеет место петля:

отношение

Для множества связок отношения и множества классических отношений введём соответственно ключевые scb-узлы“ связка отношения”и“ классическое отношение”.

Упражнения к пункту 3.3.1.

Упражнение 3.3.1.6. Приведите пример множестваs, которое не является отношением, т.е. множество, для которого не выполняется условие:

отношение  s ;

Упражнение 3.3.1.7. Существует ли отношение, являющееся рефлексивным множеством?

Упражнение 3.3.1.8. Существует ли отношениеr, для которого имеет место следующее:

r k ;  ks ;

Это означает, что связка k отношенияr является множеством, одним из элементов которого является знак отношенияr.

Упражнение 3.3.1.9. Возможна ли следующая конструкция:

отношениеr ;ra ,b ; a  s ;

Здесь знак одной из связок отношения r является элементом другой связки этого же отношения.